Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre os coeficientes de regressão, covariância e variância no contexto de uma regressão linear. Na regressão \( y = X\beta + u \), o coeficiente \( \beta_k \) representa a relação entre a variável dependente \( y \) e a variável independente \( x_k \), levando em consideração as outras variáveis em \( X \). Analisando as alternativas: A) \( \beta_k = \frac{Cov[y, \tilde{x_k}]}{Var[\tilde{x_k}]} \) - Esta alternativa parece correta, pois relaciona a covariância entre \( y \) e o resíduo \( \tilde{x_k} \) com a variância do resíduo. B) \( \beta_k = \frac{Var[x]}{Var[\tilde{x_k}]} \) - Esta alternativa não faz sentido, pois não relaciona corretamente as variáveis. C) \( \beta_k = \frac{Cov[y, x_k]}{Var[y]} \) - Esta alternativa também não está correta, pois não considera o resíduo. D) \( \beta_k = Cov[y, \tilde{x_k}] \) - Esta alternativa não está correta, pois não inclui a variância. E) \( \beta_k = Var[\tilde{x_k}] \) - Esta alternativa não faz sentido, pois não relaciona corretamente as variáveis. A alternativa correta é a) \( \beta_k = \frac{Cov[y, \tilde{x_k}]}{Var[\tilde{x_k}]} \).