Para resolver a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \), podemos fazer uma substituição. Note que \( 4 \) pode ser escrito como \( 2^2 \), então a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx \] A forma padrão para a integral \( \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx \) é: \[ \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \] Neste caso, \( a = 2 \). Portanto, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) - Correta. b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) - Incorreta. c) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta. d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \).