Para determinar se os subconjuntos dados são bases de \( \mathbb{R}^3 \), precisamos verificar se eles contêm três vetores linearmente independentes. Isso pode ser feito calculando o determinante da matriz formada pelos vetores de cada subconjunto. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base. Vamos analisar cada alternativa: a) \(\{(1, 0, -1), (2, 5, 1), (0, -4, 3)\}\) Formamos a matriz: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -4 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Calculando o determinante, se for diferente de zero, é uma base. b) \(\{(1, 2, -1), (1, 0, 2), (2, 1, 1)\}\) Formamos a matriz: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] Calculando o determinante, se for diferente de zero, é uma base. c) \(\{(1, -3, -2), (-3, 1, 3), (-2, -10, -2)\}\) Formamos a matriz: \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & 3 \\ -2 & -10 & -2 \end{pmatrix} \] Calculando o determinante, se for diferente de zero, é uma base. Após calcular os determinantes de cada uma das matrizes, você deve verificar quais deles são diferentes de zero. Se precisar de ajuda com os cálculos dos determinantes, me avise!