Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \)? A) 0 B) \( -\frac{25}{2} \) C) \( -\frac{5}{2} \) D) Infinito

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \), podemos usar a série de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \): \[ \cos(5x) = 1 - \frac{(5x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - \frac{25x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo isso na expressão do limite, temos: \[ \cos(5x) - 1 = -\frac{25x^2}{2} + O(x^4) \] Assim, a expressão do limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{25x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} \] Dividindo cada termo por \( x^2 \): \[ \lim_{x \to 0} \left(-\frac{25}{2} + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) \] Como \( \frac{O(x^4)}{x^2} \) tende a 0 quando \( x \to 0 \), o limite se simplifica para: \[ -\frac{25}{2} \] Portanto, o valor do limite é: B) \( -\frac{25}{2} \).