dqd matematica raiz

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18. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 4y(1 - y) \)?** 
 A) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-4x}} \) 
 B) \( y = Ce^{4x} \) 
 C) \( y = 1 - Ce^{-4x} \) 
 D) \( y = 4x + C \) 
 **Resposta:** A) \( y = \frac{1}{1 + Ce^{-4x}} \) 
 **Explicação:** Separando as variáveis, temos \( \frac{dy}{y(1 - y)} = 4dx \). Integrando 
ambos os lados, obtemos a solução mencionada. 
 
19. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \)?** 
 A) 0 
 B) \( -\frac{25}{2} \) 
 C) \( -\frac{5}{2} \) 
 D) Infinito 
 **Resposta:** B) \( -\frac{25}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a expansão de Taylor para \( \cos(x) \), temos \( \cos(5x) \approx 
1 - \frac{(5x)^2}{2} + O(x^4) \). Portanto, \( \cos(5x) - 1 \approx -\frac{25x^2}{2} \), 
resultando em \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{25x^2}{2}}{x^2} = -\frac{25}{2} \). 
 
20. **Qual é a integral de \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 B) \( e^{x^2} + C \) 
 C) \( x^2 e^{x^2} + C \) 
 D) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \) ou \( 
\frac{1}{2} du = x \, dx \). Assim, \( \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^{u} \, du = \frac{1}{2} 
e^{x^2} + C \). 
 
21. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 - 4} \)?** 
 A) 0 
 B) \( \frac{5}{2} \) 
 C) 1 
 D) Infinito 
 **Resposta:** B) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{4}{x^2}} = \frac{5}{2} \). 
 
22. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)?** 
 A) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2} \) 
 C) \( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \) 
 D) \( \frac{x}{1 + x^2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Explicação:** A derivada da função arco tangente é conhecida e resulta em \( f'(x) = 
\frac{1}{1 + x^2} \). 
 
23. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx \)?** 
 A) 1 
 B) 2 
 C) \( \frac{5}{3} \) 
 D) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta:** C) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** A integral resulta em \( \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = 
\left( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} \). 
 
24. **Qual é o resultado de \( \frac{d^2}{dx^2} (x^4 - 3x^3 + 2x) \)?** 
 A) \( 12x^2 - 6x \) 
 B) \( 12x^2 - 6 \) 
 C) \( 6x - 12 \) 
 D) \( 12x - 6 \) 
 **Resposta:** A) \( 12x^2 - 6x \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 4x^3 - 9x^2 + 2 \) e a segunda derivada é \( 
12x^2 - 18x \). 
 
25. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x e^{x^2}) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 B) \( \frac{1}{2} e \) 
 C) \( \frac{e^2 - 1}{2} \) 
 D) \( \frac{e - 1}{2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \) ou \( 
\frac{1}{2} du = x \, dx \). Assim, a integral se torna \( \frac{1}{2} \int e^{u} \, du \) avaliada de 
0 a 1, resultando em \( \frac{1}{2}(e - 1) \). 
 
26. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) Infinito 
 D) \( -1 \) 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} 
\). Derivando o numerador e o denominador, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} 
= 1 \). 
 
27. **Qual é a integral de \( \int \sin^2(x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 B) \( -\cos(x) + C \) 
 C) \( \frac{1}{2} \sin(x) + C \) 
 D) \( \cos^2(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), temos \( \int 
\sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \). 
 
28. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2