Determine o valor da integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). A) 0 B) 1 C) 2 D) \( \frac{1}{2} \)

Para resolver a integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 3x^2 - 4x + 1 \). 1. A antiderivada de \( 3x^2 \) é \( x^3 \). 2. A antiderivada de \( -4x \) é \( -2x^2 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada da função é: \[ F(x) = x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): \[ F(2) = 2^3 - 2(2^2) + 2 = 8 - 8 + 2 = 2 \] \[ F(1) = 1^3 - 2(1^2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = F(2) - F(1) = 2 - 0 = 2 \] Portanto, o valor da integral é \( 2 \). A alternativa correta é: C) 2.