testes dasdj (23)

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- A) \( \frac{\pi}{4} \) 
- B) \( \frac{\pi}{2} \) 
- C) \( \frac{1}{2} \) 
- D) \( \frac{\pi}{8} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{4} \) 
**Explicação:** Usamos a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). A integral se 
torna \( \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} \). 
 
### Problema 32 
**Pergunta:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x^2)} \)? 
- A) 0 
- B) 1 
- C) \( \infty \) 
- D) 2 
 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Utilizando a propriedade \( \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin(u)} = 1 \), onde \( u = 
x^2 \). 
 
### Problema 33 
**Pergunta:** Determine o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x) \, dx \). 
- A) 0 
- B) 1 
- C) \( \frac{1}{2} \) 
- D) \( \frac{1}{3} \) 
 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^1 = \left( 
\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \right) = 1 \). 
 
### Problema 34 
**Pergunta:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 4) \)? 
- A) \( \frac{2x}{x^2 + 4} \) 
- B) \( \frac{x}{x^2 + 4} \) 
- C) \( \frac{1}{x^2 + 4} \) 
- D) \( \frac{2}{x^2 + 4} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 4} \) 
**Explicação:** A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \). Aqui, \( u = x^2 + 4 \) e \( u' = 2x 
\). 
 
### Problema 35 
**Pergunta:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
- A) 0 
- B) 1 
- C) 2 
- D) 3 
 
**Resposta:** D) 3 
**Explicação:** Usando a fatoração, temos \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Portanto, \( 
\lim_{x \to 1} x^2 + x + 1 = 3 \). 
 
### Problema 36 
**Pergunta:** Qual é a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \)? 
- A) 1 
- B) 2 
- C) \( \frac{5}{4} \) 
- D) \( \frac{7}{4} \) 
 
**Resposta:** D) \( \frac{7}{4} \) 
**Explicação:** A integral é \( \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_0^1 = (1 - \frac{2}{3} + 3) 
= \frac{7}{4} \). 
 
### Problema 37 
**Pergunta:** Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \)? 
- A) 0 
- B) 1 
- C) \( \infty \) 
- D) 2 
 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Este é um limite fundamental. A derivada de \( \ln(1 + x) \) em \( x = 0 \) é \( 
1 \). 
 
### Problema 38 
**Pergunta:** Determine o valor da integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
- A) 0 
- B) 1 
- C) 2 
- D) \( \frac{1}{2} \) 
 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 - 2x^2 + x \right]_1^2 = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 1 \). 
 
### Problema 39 
**Pergunta:** Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
- A) \( 2xe^{x^2} \) 
- B) \( e^{x^2} \) 
- C) \( 2x^2 e^{x^2} \) 
- D) \( x e^{x^2} \) 
 
**Resposta:** A) \( 2xe^{x^2} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \).