Problema 19: Calcule ∫ x e^{x^2} \, dx. a) \frac{1}{2} e^{x^2} + C b) e^{x^2} + C c) 2e^{x^2} + C d) \frac{1}{2} e^{2x} + C

Para resolver a integral \(\int x e^{x^2} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos definir \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int x e^{x^2} \, dx = \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int e^u \, du \] A integral de \(e^u\) é \(e^u\), então: \[ \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C \] Substituindo \(u\) de volta, temos: \[ \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)