Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx \). A) \( \frac{8}{15} \) B) \( \frac{4}{15} \) C) \( \frac{2}{15} \) D) \( \frac{6}{15} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx \), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \( x = \sin(\theta) \), o que implica que \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). Os limites de integração mudam: - Quando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \). - Quando \( x = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{5}{2}} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \( 1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) \), então: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2(\theta))^{\frac{5}{2}} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^6(\theta) \, d\theta \] A integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta \) pode ser calculada usando a fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \] Para \( n = 6 \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^6(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}{\Gamma(4)} \] Sabemos que \( \Gamma(4) = 3! = 6 \) e \( \Gamma\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{15\sqrt{\pi}}{8} \). Portanto: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^6(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\frac{15\sqrt{\pi}}{8}}{6} = \frac{15\pi}{96} = \frac{5\pi}{32} \] Por fim, a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx \) resulta em \( \frac{8}{15} \). Assim, a alternativa correta é: A) \( \frac{8}{15} \).