Para resolver a integral \( \int \frac{x^3}{(1 + x^2)^{\frac{5}{2}}} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 + x^2 \). Assim, temos \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). Substituindo \( x^2 = u - 1 \), temos \( x^3 = x \cdot x^2 = x(u - 1) \). Portanto, a integral se transforma em: \[ \int \frac{x(u - 1)}{u^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{5}{2}}} \, du \] Isso se simplifica para: \[ \frac{1}{2} \int \left( u^{-\frac{3}{2}} - u^{-\frac{5}{2}} \right) \, du \] Integrando, obtemos: \[ \frac{1}{2} \left( -2u^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{3}u^{-\frac{3}{2}} \right) + C = -u^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}u^{-\frac{3}{2}} + C \] Substituindo \( u = 1 + x^2 \) de volta, temos: \[ -\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{1}{3(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( -\frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) B) \( \frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) C) \( -\frac{1}{5(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) D) \( \frac{1}{5(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \) Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos a forma correta da integral, a alternativa que mais se aproxima do resultado correto é a A) \( -\frac{1}{4(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} + C \), mas isso não é exato. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode querer revisar as alternativas ou o enunciado da questão.