Calcule a integral definida \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( \frac{7}{3} \) D) \( 3 \)

Para calcular a integral definida \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x + 1 \). A antiderivada é: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Portanto, o valor da integral definida é \( \frac{7}{3} \). A alternativa correta é: C) \( \frac{7}{3} \).