Um hexágono regular tem um apótema de 5 cm. Qual é a área do hexágono? a) 60√3 cm² b) 30√3 cm² c) 90√3 cm² d) 120√3 cm²

Para calcular a área de um hexágono regular, podemos usar a fórmula: \[ \text{Área} = \frac{P \cdot a}{2} \] onde \( P \) é o perímetro e \( a \) é o apótema. Um hexágono regular tem 6 lados, e a relação entre o apótema e o lado é dada por: \[ a = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2} \] onde \( l \) é o comprimento do lado. Primeiro, precisamos encontrar o comprimento do lado \( l \) usando o apótema \( a = 5 \) cm: \[ 5 = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2} \] \[ l = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} \] \[ l = \frac{10}{\sqrt{3}} \] Agora, calculamos o perímetro \( P \): \[ P = 6l = 6 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \] Agora, substituímos na fórmula da área: \[ \text{Área} = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{\left(\frac{60}{\sqrt{3}}\right) \cdot 5}{2} \] \[ \text{Área} = \frac{300}{2\sqrt{3}} = \frac{150}{\sqrt{3}} \] Multiplicando o numerador e o denominador por \(\sqrt{3}\): \[ \text{Área} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3} \] Parece que houve um erro na análise. Vamos usar a fórmula direta para a área de um hexágono regular em termos do apótema: \[ \text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Substituindo \( a = 5 \): \[ \text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 25 = \frac{75\sqrt{3}}{2} = 37,5\sqrt{3} \] Parece que não temos a resposta correta nas opções. Vamos verificar as opções novamente. A área correta do hexágono regular com apótema de 5 cm é: \[ \text{Área} = 75\sqrt{3} \] Nenhuma das opções apresentadas corresponde a esse valor. Portanto, você deve revisar as opções ou a pergunta.