Qual é o valor de \( \tan(105^\circ) \? a) \( 2 + \sqrt{3} \) b) \( 2 - \sqrt{3} \) c) \( \sqrt{3} + 2 \) d) \( \sqrt{3} - 2 \)

Para encontrar o valor de \( \tan(105^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos. O ângulo \( 105^\circ \) pode ser escrito como \( 60^\circ + 45^\circ \). A fórmula é: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Substituindo \( a = 60^\circ \) e \( b = 45^\circ \): \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \tan(45^\circ) = 1 \] Agora, aplicando a fórmula: \[ \tan(105^\circ) = \frac{\tan(60^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(60^\circ) \tan(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \] Multiplicando o numerador e o denominador por \( -1 \): \[ \tan(105^\circ) = \frac{-(\sqrt{3} + 1)}{-(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] Agora, racionalizando o denominador: \[ \tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \] Portanto, a resposta correta é: a) \( 2 + \sqrt{3} \)