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Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros 
 Lauro / Nunes 
1 
1. Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação A =4p 2r . 
Resolução: Aproximações (ERROS): 
MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma idealização de sua forma 
verdadeira. O raio da Terra é obtido por medidas empíricas e cálculos prévios. 
RESOLUÇÃO: o valor de p requer o truncamento de um processo infinito; os dados de 
entrada e os resultados de operações aritméticas são arredondados pelo computador. 
2. Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b). 
a) x =1,5 e x =1,49; b) y =5,4 e y =5,39. 
Resolução: 
a) xEA =0,01=
210- b) yEA =0,01=
210- 
xER =0,00666667 yER =0,00185185 
3. Arredondar p na quarta casa decimal, sendo que p=3,1415926535¼ 
Resolução: id =5 e 1+id =9>5 Þ id +1=5+1=6. Logo: p=3,1416. 
4. Aproximar p truncando na quarta casa decimal, sendo que p=3,1415926535¼ 
Resolução: id =5 Þ p=3,1415. 
5. Sabendo-se que xe pode ser escrito como xe =å
¥
=0i
i
i
x
!
, faça a aproximação de 2e através 
de um truncamento após quatro termos da somatória. 
Resolução: xe =å
¥
=0i
i
i
x
!
=1+ x +
!2
2x
+
!3
3x
+
!4
4x
+
!5
5x
+¼ Truncando-se após quatro termos, 
tem-se: 
2e =1+2+
!2
22
+
!3
23
=1+2+
2
4
+
6
8
=5+
3
4
=
3
19
. 
6. Considerando no sistema de base 10, b=10, represente os seguintes números, em 
aritmética de ponto flutuante: 
a) 0,34510; b) 31,41510. 
Resolução: a) 0,34510 = êë
é
10
3
+ 210
4
+ úû
ù
310
5
* 010 ; 
b) 31,41510= êë
é
10
3
+ 210
1
+ 310
4
+ 410
1
+ úû
ù
510
5 * 210 . 
7. Considerando no sistema binário, b=2, represente o número 1012 em aritmética de ponto 
flutuante. 
Resolução: 1012 = 0,101* 32 = êë
é
2
1 + 22
0
+ úû
ù
32
1 * 32 . 
Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros 
 Lauro / Nunes 
2 
8. 10112 = 10x . 
Resolução: 10112 = 0,1011* 42 = êë
é
2
1 + 22
0
+ 32
1
+ úû
ù
42
1 * 42 = 32 +2+1=11 
Þ 10112 = 1110 Þ x =11. 
9. 11,012 = 10x . 
Resolução: 11,012 = 0,1101* 22 = êë
é
2
1 + 22
1
+ 32
0
+ úû
ù
42
1 * 22 =2+1+ 22
1
=3,25 
Þ 11,012 = 3,2510 Þ x =3,25. 
10. 403,125 = 10x . 
Resolução: 403,125 = 0,40312* 35 = êë
é
5
4 + 25
0
+ 35
3
+ 45
1
+ úû
ù
55
2 * 35 
=4* 25 +0+3+
5
1
+ 25
2
=100+3+0,2+0,08=103,28 
Þ 403,125 = 103,2810 Þ x =103,28. 
11. Converta 5910 para a base 2. 
Resolução: N =59 e b=2 Þ N ³b 
59 2 
1 29 2 
 1 14 2 
 0 7 2 
 1 3 2 
 1 1 Þ 5910 = 1110112 
12. Converta 5910 para a base 3. 
Resolução: N =59 e b=3 N ³b 
59 3 
2 19 3 
 1 6 3 
 0 2 Þ 5910 = 20123 
· b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ): 
Multiplica-se F por b e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do 
número na base b . Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte 
inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero. 
Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x : 
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3 
13. 0,187510 = 2x . 
Resolução: 
0,1875 0,375 0,75 0,5 
´2 ´2 ´2 ´2 
0,3750 0,750 1,50 1,0 
Þ 0,187510 = 0,00112. 
14. 0,610 = 2x . 
Resolução: 
0,6 0,2 0,4 0,8 0,6 ¼ 
´2 ´2 ´2 ´2 ´2 
1,2 0,4 0,8 1,6 1,2 ¼ 
Þ 0,610 = 0,10011001¼2. 
15. 13,2510 = 2x . 
Resolução: 
· a) 1310 = ? N =13 e b=2 Þ N ³b 
13 2 
1 6 2 
 0 3 2 
 1 1 
Þ 1310 = 11012. 
· b) 0,2510 = ? 
0,25 0,5 
´2 ´2 
0,50 1,0 
Þ 0,2510 = 0,012. 
· Logo: 13,2510 = 1310 + 0,2510 = 11012 + 0,012 = 1101,012. 
 
Transforme para a base que se pede (determine o valor de x ). 
16. 100101,10012 = 10x . 
Resolução: 100101,10012 = 0,1001011001* 62 
= êë
é
2
1 + 22
0
+ 32
0
+ 42
1
+ 52
0
+ 62
1
+ 72
1
+ 82
0
+ 92
0
+ úû
ù
102
1 * 62 
= 52 + 22 +1+
2
1
+ 42
1
=32+4+1+0,5+0,0625=37,5625 
Þ 100101,10012 = 37,562510 Þ x =37,5625. 
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4 
17. 19,3867187510 = 4x . 
Resolução: 
· a) 1910 = ? N =19 e b=4 Þ N ³b 
19 4 
3 4 4 
 0 1 
Þ 1910 = 1034. 
· b) 0,3867187510 = ? 
0,38671875 0,546875 0,1875 0,75 
´4 ´4 ´4 ´4 
1,54687500 2,187500 0,7500 3,00 
Þ 0,3867187510 = 0,12034. 
· Logo: 19,3867187510 = 1910 + 0,3867187510 = 1034 + 0,12034 = 103,12034. 
18. Transforme a medida 35 h 48 min 18 seg para minutos. 
DICA: 35:48,1860 = 10x min . 
Resolução: 35:48,1860 = 0,35:48:18* 260 = êë
é
60
35 + 260
48
+ úû
ù
360
18 * 260 = 35*60 + 48 + 
60
18
 
= 2100 + 48 + 0,3 = 2148,3 
Þ 35:48,1860 = 2148,310. 
Þ 35h 48 min 18 seg = 2148,3 min . 
19. Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos. 
DICA: 35,80510 = 60x . 
Resolução: 
· a) 3510 = ? N =35 e b=60 Þ N <b 
 
Þ 3510 = 3560. 
· b) 0, 80510 = ? 
0,805 0,3 
´60 ´60 
48,300 18,0 
Þ 0, 80510 = 0,48:1860. 
· Logo: 35,80510 = 3510 + 0, 80510 = 3560 + 0,48:1860 = 35,48:1860. 
Þ 35,805h = 35h 48 min 18 seg . 
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20. Preencher a tabela a seguir, com base nos parâmetros: t =3, b=10, I =-5, S =5 e 
-5£ exp£5. 
Número Truncamento Arredondamento 
-6,48 -0,648*10 -0,648*10 
0,0002175 0,217* 310- 0,218* 310- 
3498,3 0,349* 410 0,35* 410 
-0,00000001452 -0,145* 710- -0,145* 710- Þ UNDERFLOW 
2379441,5 0,237* 710 0,238* 710 Þ OVERFLOW 
OBS. 1: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3 
algarismos significativos. 
Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de 
ponto flutuante com 3 algarismos significativos. 
21. (4,26 + 9,24) + 5,04 
Resolução: 13,5 + 5,04 = 18,5. 
22. 4,26 + (9,24 + 5,04) 
Resolução: 4,26 + 14,3 = 18,6. 
23. (4210 - 4,99) - 0,02 
Resolução: 4210 - 0,02 = 4210. 
24. 4210 - (4,99 + 0,02) 
Resolução: 4210 - 5,01 = 4200. 
25. 
7
2
*(4,0237 - 6,106) 
Resolução: 0,286*(4,02 - 6,11) = 0,286*(-2,09) = -0,598. 
26. 
7
1066023742 ),,( -*
 
Resolução: 
7
0922 ),(-*
 = 
7
184,-
 = -0,597. 
27. Sendo b=10, t =4 e expÎ[-5,5], calcule: 
a) 42450 + å
=
10
1
3
i
; b) å
=
10
1
3
i
 + 42450. 
Resolução: 
· a) 42450 + å
=
10
1
3
i
 = 42450 = 0,4245* 510 ; 
· b) å
=
10
1
3
i
 + 42450 = 30 + 42450 = 42480 = 0,4248* 510 . 
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6 
Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o 
valor da variável x : 
28. 11000112 = 10x . 
Resolução: 11000112 =0, 1100011* 72 = êë
é
2
1 + 22
1
+ 32
0
+ 42
0
+ 52
0
+ 62
1
+ úû
ù
72
1
* 72 
= 62 + 52 +2+1 = 99 
Þ 11000112 = 9910 Þ x =99. 
29. 11111112 = 10x . 
Resolução: 11111112 =0, 1111111* 72 = êë
é
2
1 + 22
1
+ 32
1
+ 42
1
+ 52
1
+ 62
1
+ úû
ù
72
1
* 72 
= 62 + 52 + 42 + 32 + 22 +2+1 = 127 
Þ 11111112 = 12710 Þ x =127. 
30. 10101012 = 10x . 
Resolução: 10101012 =0, 1010101* 72 = êë
é
2
1 + 22
0
+ 32
1
+ 42
0
+ 52
1
+ 62
0
+ úû
ù
72
1
* 72 
= 62 + 42 + 22 +1 = 85 
Þ 10101012 = 8510 Þ x =85. 
31. 101,00112 = 10x . 
Resolução: 101,00112 = 0, 1010011* 32 = êë
é
2
1 + 22
0
+ 32
1
+ 42
0
+ 52
0
+ 62
1
+ úû
ù
72
1
* 32 
= 22 +1+ 32
1
+ 42
1
 = 5 + 0,125 + 0,0625 = 5 + 0,1875 = 5,1875 
Þ 101,00112 = 5,187510 Þ x =5,1875. 
32. 0,01111112 = 10x . 
Resolução: 0,01111112 = 0, 111111* 12- = êë
é
2
1 + 22
1
+ 32
1
+ 42
1
+ 52
1
+ úû
ù
62
1
* 12- 
= 22
1
+ 32
1
+ 42
1
+ 52
1
+ 62
1
+ 72
1
 
= 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 + 0,015625 + 0,0078125 = 0,4921875 
Þ 0,01111112 = 0,492187510 Þ x =0,4921875. 
33. 1,0100112 = 10x . 
Resolução: 1,0100112 = 0, 1010011*2= êë
é
2
1 + 22
0
+ 32
1
+ 42
0
+ 52
0
+ 62
1
+ úû
ù
72
1
*2 
=1+ 22
1
+ 52
1
+ 62
1
 = 1 + 0,25 + 0,03125 + 0,015625 = 1,296875 
Þ 1,0100112 = 1,29687510 Þ x =1,296875. 
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Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária,determinando o 
valor da variável x : 
34. 3710 = 2x . 
Resolução: N =37 e b=2 Þ N ³b 
37 2 
1 18 2 
 0 9 2 
 1 4 2 
 0 2 2 
 0 1 Þ 3710 = 1001012 
35. 234510 = 2x . 
Resolução: N =2345 e b=2 Þ N ³b 
2345 2 
1 1172 2 
 0 586 2 
 0 293 2 
 1 146 2 
 0 73 2 
 1 36 2 
 0 18 2 
 0 9 2 
 1 4 2 
 0 2 2 
 0 1 Þ 234510 = 1001001010012 
36. 
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8 
37. Determine x com 36 dígitos: 0,121710 = 2x . 
Resolução: 
0,1217 0,2434 0,4868 0,9736 0,9472 0,8944 0,7888 0,5776 0,1552 
´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 
0,2434 0,4868 0,9736 1,9472 1,8944 1,7888 1,5776 1,1552 0,3104 
 
0,3104 0,6208 0,2416 0,4832 0,9664 0,9328 0,8656 0,7312 0,4624 
´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 
0,6208 1,2416 0,4832 0,9664 1,9328 1,8656 1,7312 1,4624 0,9248 
 
0,9248 0,8496 0,6992 0,3984 0,7968 0,5936 0,1872 0,3744 0,7488 
´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 
1,8496 1,6992 1,3984 0,7968 1,5936 1,1872 0,3744 0,7488 1,4976 
 
0,4976 0,9952 0,9904 0,9808 0,9616 0,9232 0,8464 0,6928 0,3856 
´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 
0,9952 1,9904 1,9808 1,9616 1,9232 1,8464 1,6928 1,3856 0,7712 
Þ 0,121710 = 0,0001111100100111101110110010111111102. 
38. Determine x com 8 dígitos: 2,4710 = 2x . 
Resolução: 
· a) 210 = ? N =2 e b=2 Þ N ³b 
2 2 
0 1 
Þ 210 = 102. 
· b) 0, 4710 = ? 
0,47 0,94 0,88 0,76 0,52 0,04 0,08 0,16 0,32 
´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 ´2 
0,94 
 
1,88 
 
1,76 
 
1,52 
 
1,04 
 
0,08 
 
0,16 
 
0,32 
 
0,64 
Þ 0, 4710 = 0,011110002. 
Logo: 2,4710 = 210 + 0, 4710 = 102 + 0,011110002 = 10, 011110002.