11- Uma equação da circunferência tem diâmetros cujos extremos são (2; 3) e (-4; 5): Encontre equação da circunferência.

Para encontrar a equação da circunferência com diâmetro cujos extremos são os pontos \(A(2, 3)\) e \(B(-4, 5)\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o centro da circunferência: O centro \(C\) é o ponto médio do segmento \(AB\). A fórmula do ponto médio é: \[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Substituindo os valores: \[ C\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = C\left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}\right) = C(-1, 4) \] 2. Encontrar o raio da circunferência: O raio \(r\) é a metade da distância entre os pontos \(A\) e \(B\). Primeiro, calculamos a distância \(d\) entre \(A\) e \(B\) usando a fórmula: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Substituindo os valores: \[ d = \sqrt{((-4) - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Portanto, o raio \(r\) é: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10} \] 3. Escrever a equação da circunferência: A equação da circunferência com centro \(C(h, k)\) e raio \(r\) é dada por: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Substituindo \(h = -1\), \(k = 4\) e \(r = \sqrt{10}\): \[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{10})^2 \] Simplificando: \[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 10 \] Portanto, a equação da circunferência é: \[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 10 \]