Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 - 1 \), podemos reescrevê-la como: \[ \frac{dy}{y^2 - 1} = dx \] O lado esquerdo pode ser decomposto em frações parciais: \[ \frac{1}{y^2 - 1} = \frac{1}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{1/2}{y - 1} - \frac{1/2}{y + 1} \] Integrando ambos os lados, obtemos: \[ \frac{1}{2} \ln |y - 1| - \frac{1}{2} \ln |y + 1| = x + C \] Isso pode ser simplificado para: \[ \ln \left| \frac{y - 1}{y + 1} \right| = 2(x + C) \] Exponenciando ambos os lados, temos: \[ \frac{y - 1}{y + 1} = e^{2(x + C)} \] Resolvendo para \(y\), encontramos: \[ y = \frac{1 + e^{2(x + C)}}{1 - e^{2(x + C)}} \] No entanto, a forma mais comum da solução é expressa em termos de funções hiperbólicas. A solução geral da equação diferencial dada é: \[ y = \tanh(x + C) \] Portanto, a alternativa correta é: C) \( y = \tanh(x + C) \)