DETERMINE O VALOR DO LIMITE \lim _{x\to -\frac{3}{2}}\:\frac{4X^2\:-\:9}{2X\:+\:3}

Para determinar o limite \(\lim _{x\to -\frac{3}{2}}\:\frac{4x^2 - 9}{2x + 3}\), vamos seguir os passos: 1. Substituição Direta: Primeiro, substituímos \(x\) por \(-\frac{3}{2}\) na função: \[ \frac{4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 9}{2\left(-\frac{3}{2}\right) + 3} \] 2. Calculando o Numerador: \[ 4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9 \] Portanto, o numerador fica: \[ 9 - 9 = 0 \] 3. Calculando o Denominador: \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = -3 + 3 = 0 \] 4. Forma Indeterminada: Como tanto o numerador quanto o denominador resultaram em 0, temos uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Precisamos simplificar a expressão. 5. Fatoração: O numerador \(4x^2 - 9\) pode ser fatorado como uma diferença de quadrados: \[ 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{(2x - 3)(2x + 3)}{2x + 3} \] 6. Cancelamento: Podemos cancelar \(2x + 3\) (desde que \(x \neq -\frac{3}{2}\)): \[ 2x - 3 \] 7. Novo Limite: Agora, calculamos o limite da nova expressão: \[ \lim_{x \to -\frac{3}{2}} (2x - 3) \] Substituindo \(x\) por \(-\frac{3}{2}\): \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -3 - 3 = -6 \] Portanto, o valor do limite é: \[ \lim _{x\to -\frac{3}{2}}\:\frac{4x^2 - 9}{2x + 3} = -6 \]