Lista de exercicios Calculo Diferencial e Integral a uma variável ex4

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AULA 2 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM GABARITO 
 
01. Use o gráfico da função para responder o que se pede: 
a) lim
x→2−
f(x) = 
b) lim
x→2+
f(x) = 
c) lim
x→2
f(x) = 
d) 𝑓(2) = 
e) lim
x→−2
f(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
02. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: 
lim
𝑥→0
(3 − 7𝑥 − 5𝑥²). 
 
 
03. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: 
lim
𝑥→1
(
𝑥 + 4
3𝑥 − 1
). 
 
 
04. Calcular o limite: lim
𝑥→0
(x2 − 3x + 2). 
 
 
05. Calcular o limite: lim
𝑡→2
(
𝑡2−5𝑡+6
𝑡+2
) . 
 
 
06. Calcule o limite lim
𝑥→−2
[
𝑥3+8
𝑥4−16
]. 
 
 
07. Calcule o lim
ℎ→0
√9+ℎ−3
ℎ
. 
 
 
08. Calcule a assíntota vertical da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
. 
 
 
09. Calcule a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥+3|
 
 
 
10. Calcule o limite: lim
𝑦→∞
(
2+3𝑦²
5𝑦²+4𝑦
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resoluções passo a passo 
01. Use o gráfico da função para responder o que se pede: 
Resolução 
Pela observação gráfica: 
a) lim
x→2−
f(x) = 3 
b) lim
x→2+
f(x) = 1 
c) lim
x→2
f(x) → 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 
d) 𝑓(2) = 3 
e) lim
x→−2
f(x) = 1 
 
 
 
 
 
02. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: 
lim
𝑥→0
(3 − 7𝑥 − 5𝑥²) 
Resolução 
lim
𝑥→0
(3 − 7𝑥 − 5𝑥2) = 
 
= lim(3) −
𝑥→0
lim(7x) −
𝑥→0
lim(5x2) =
𝑥→0
 
 
= lim(3) −
𝑥→0
7 ∙ lim(x) −
𝑥→0
5 ∙ lim(x2) =
𝑥→0
 
 
= lim(3) −
𝑥→0
7 ∙ lim(x) −
𝑥→0
5 ∙ lim(x2) =
𝑥→0
 
 
= lim(3) −
𝑥→0
7 ∙ lim(x) −
𝑥→0
5 ∙ lim(x) ∙ lim(x) =
𝑥→0
𝑥→0
 
 
= 3 − 7 ∙ 0 − 5 ∙ 0 ∙ 0 = 
 
= 3 − 0 − 0 = 
 
= 3 
03. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: 
lim
𝑥→1
(
𝑥 + 4
3𝑥 − 1
) 
Resolução 
lim
𝑥→1
(
𝑥 + 4
3𝑥 − 1
) = 
 
=
lim
𝑥→1
[𝑥 + 4]
lim
𝑥→1
[3𝑥 − 1]
= 
 
= 
lim
𝑥→1
[𝑥] + lim
𝑥→1
[4]
lim
𝑥→1
[3𝑥] − lim
𝑥→1
[1]
= 
 
= 
lim
𝑥→1
[𝑥] + lim
𝑥→1
[4]
3 ∙ lim
𝑥→1
[𝑥] − lim
𝑥→1
[1]
= 
 
= 
1 + 4
3 ∙ 1 − 1
= 
 
= 
5
2
 
 
04. Calcular o limite: 
lim
𝑥→0
(x2 − 3x + 2) 
Resolução 
Por substituição direta: 
lim
𝑥→0
(x2 − 3x + 2) = 
 
= 02 − 3 ∙ 0 + 2 = 
 
= 0 − 0 + 2 = 
 
= 2 
 
 
 
05. Calcular o limite: 
lim
𝑡→2
(
𝑡2 − 5𝑡 + 6
𝑡 + 2
) 
Resolução: 
lim
𝑡→2
(
𝑡2 − 5𝑡 + 6
𝑡 + 2
) = 
 
=
22 − 5 ∙ 2 + 6
2 + 2
= 
 
=
4 − 10 + 6
2 + 2
= 
=
0
4
= 
 
= 0 
 
06. Calcule o limite lim
𝑥→−2
[
𝑥3+8
𝑥4−16
]. 
Resolução 
Substituindo diretamente x=-2 
 
lim
𝑥→−2
[
𝑥3 + 8
𝑥4 − 16
] =
(−2)3 + 8
(−2)4 − 16
=
−8 + 8
16 − 16
=
0
0
 
 
O resultado é uma indeterminação, portanto se faz necessária uma simplificação algébrica. 
Fatorando a função usando Briot-Ruffini: 
 
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
(𝑥 + 2)(𝑥3 − 2𝑥² + 4𝑥 − 8)
= 
 
= lim
𝑥→−2
(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
(𝑥3 − 2𝑥² + 4𝑥 − 8)
= 
 
=
(−2)2 − 2(−2) + 4
(−2)3 − 2(−2)² + 4(−2) − 8
= 
 
= −
3
32
 
 
07. Calcule o lim
ℎ→0
√9+ℎ−3
ℎ
. 
Resolução 
Substituindo diretamente h=0 
 
lim
ℎ→0
√9 + ℎ − 3
ℎ
=
√9 + 0 − 3
0
=
√9 − 3
0
=
3 − 3
0
=
0
0
 
 
O resultado é uma indeterminação, portanto se faz necessária uma simplificação algébrica. 
Multiplicando e dividindo pelo conjugado: 
 
lim
ℎ→0
√9 + ℎ − 3
ℎ
∙
√𝟗 + 𝒉 + 𝟑
√𝟗 + 𝒉 + 𝟑
= 
 
= lim
ℎ→0
9 + ℎ − 9
ℎ(√9 + ℎ + 3)
= 
 
= lim
ℎ→0
9 + ℎ − 9
ℎ(√9 + ℎ + 3)
= 
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ(√9 + ℎ + 3)
= 
 
= lim
ℎ→0
1
√9 + ℎ + 3
= 
 
=
1
√9 + 0 + 3
= 
 
=
1
6
 
 
 
 
 
 
 
08. Calcule a assíntota vertical da função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
Resolução 
Olhamos par o domínio da função: 𝑥 ≠ 0, desta forma analizaremos exatamente quando o 𝑥 =
0. 
 
lim
𝑥→0
(
1
𝑥
) =
1
0
, portanto um resultado inconclusivo. 
Nesse caso, tabelaremos usando 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
, somente para verificar o resultado 
 
x f(x) 
 
x f(x) 
-0,0001 -10000 
 
0,0001 10000 
-0,001 -1000 
 
0,001 1000 
-0,01 -100 
 
0,01 100 
-0,1 -10 
 
0,1 10 
-1 -1 
 
1 1 
-10 -0,1 
 
10 0,1 
-100 -0,01 
 
100 0,01 
 
Graficamente, 
 
Note que quanto mais o valor de x (domínio) se aproxima de x = 0, mais o resultado de 
f(x) (y: imagem) se aproximam dos infinitos positivos e negativos, demonstrando assim a 
tendência de valores extremos. 
Contudo, não estime um valor de x que mesmo extremamente grande possa zerar a 
conta 1/x. Sendo assim, a assíntota vertical é x = 0. 
Portanto, y = 0 será a assíntota horizontal. 
 
 
09. Calcule a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥+3|
 . 
Resolução 
Para esse cálculo da assíntota horizontal usamos lim
𝑥→∞
1
|𝑥+3|
 e lim
𝑥→−∞
1
|𝑥+3|
 
O resultado desse limite vem calculado de forma direta por substituição: 
 
lim
𝑥→∞
1
|𝑥 + 3|
=
1
|∞ + 3|
=
1
|∞|
=
1
∞
= 0 
 
lim
𝑥→−∞
1
|𝑥 + 3|
=
1
|−∞ + 3|
=
1
|−∞|
=
1
∞
= 0 
 
Graficamente, 
 
 
Assim a assíntota horizontal é y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule o limite: lim
𝑦→∞
(
2+3𝑦²
5𝑦²+4𝑦
) 
Resolução 
lim
𝑦→∞
(
2+3𝑦²
5𝑦²+4𝑦
) =
2+3∞²
5∞²+4∞
=
∞
∞
, sendo assim, uma indeterminação. 
 
Portanto, para calcular o limite devemos evidenciar o valor de mais alto grau no numerador e no 
denominador. 
 
lim
𝑦→∞
(
2 + 3𝑦2
5𝑦2 + 4𝑦
) = 
 
= lim
𝑦→∞
(
𝑦2 (
2
𝑦2
+ 3)
𝑦2 (5 +
4
𝑦
)
) = 
 
= lim
𝑦→∞
(
2
𝑦2
+ 3
5 +
4
𝑦
) = 
 
=
2
∞2
+ 3
5 +
4
∞
= 
 
=
0 + 3
5 + 0
= 
 
= 3/5