Para resolver a questão sobre o Teorema de Green e calcular a integral de linha do campo vetorial \( F(x, y) = (2xy, x + x^2) \) ao longo de uma curva fechada (neste caso, o disco centrado na origem com raio 2), precisamos aplicar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo da curva fechada \( C \) com a integral dupla sobre a região \( D \) delimitada por \( C \): \[ \oint_C (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] Onde \( P = 2xy \) e \( Q = x + x^2 \). Agora, vamos calcular as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + x^2) = 1 + 2x \) 2. \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x \) Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (1 + 2x) - (2x) = 1 \] Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região \( D \) (o disco de raio 2): \[ \iint_D 1 \, dA \] A área do disco de raio 2 é: \[ A = \pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi \] Portanto, a integral dupla é: \[ \iint_D 1 \, dA = 4\pi \] Assim, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha é: \[ \oint_C (2xy \, dx + (x + x^2) \, dy) = 4\pi \] Agora, precisamos verificar as alternativas dadas: A. \( 3n \) B. \( \frac{4n}{3} \) C. \( 2n \) D. \( 4n \) E. \( \frac{3n}{2} \) A única alternativa que corresponde ao resultado \( 4\pi \) é a alternativa D, que pode ser interpretada como \( 4n \) se considerarmos \( n = \pi \). Portanto, a alternativa correta é: D. ( ) 4n.