Integral III Avaliação Discursiva

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<p>27/08/2024, 20:17 Avaliação Final (Discursiva) - Individual A+ Alterar modo de visualização Peso da Avaliação 2,00 Prova 81361505 Qtd. de Questões 2 Nota 10,00 1 Sabemos que para calcular volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas. Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração. Z C b y a x Resposta esperada Sabemos que volume de um sólido é dado pela integral tripla da função 1. Precisamos agora determinar os limites de integração. Como é um paralelepípedo, seus limites é: about:blank 1/4</p><p>27/08/2024, 20:17 Avaliação Final (Discursiva) Individual = dydx b = dx = : = abc. 0 A ordem de integração pode ser outra. Minha resposta alguns símbolos não conseguimos colocar aqui então segue tabela de símbolo e significado: { = símbolo de derivada Resposta: Deduzindo a fórmula do volume de um paralelogramo empregando integrais triplas, onde no nosso exemplo possui arestas a,b,c nos eixos Limites da Integração: no espaço tridimensional do paralelogramo do exemplo podemos descrever nas seguintes coordenadas: volume V ao longo das três dimensões se da pela integral da unidade (1) dentro dos limites: { dv V onde no sistema de coordenadas cartesianas dv = dx.dy.dz Integral tripla com os limites estabelecidos : {a0 {b0 {c0 dzdydx Integrando em {c0 dz {b0 C dx V {a0 {b0 dydx Integrando em y {b0 dy = Assim até momento temos: V : C {a0 dx Integrando em afirmar que volume do paralelogramo se dá por: V a Limites : se dá ao longo do percurso do eixo X que vai de 0 até a. Limites em a : se dá ao longo do percurso do eixo X que vai de até a. Limites em y : se dá ao longo do percurso do eixo y que vai de até b. Limites do eixo Z : : se dá ao longo do percurso do eixo Z que vai de 0 até C. Cada integral é resolvida consecutivamente, integrando ao longo da dimensão, enquanto mantem-se constante nas outras, até que consigamos considerar as três dimensões. O resultado final confirma a fórmula do volume do paralelogramo como: V = a.b.c paralelogramo integrais ripla.pdfClique para baixar sua resposta Retorno da correção Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou esperado, demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. 2 Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que define a sua borda e essa curva pode não ser elementar. Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser aplicados. Resposta esperada about:blank 2/4</p><p>27/08/2024, 20:17 Avaliação Final (Discursiva) Individual O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar Teorema de Green para calcular trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma partícula. O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula. O Teorema de Gauss é teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar Teorema de Gauss para calcular fluxo de saída. Minha resposta Resposta: Tópico 1 Teorema de Green: O teorema de Green forma uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada em um plano e uma integral dupla na região delimitada por essa curva, ou seja, neste teorema trocamos uma integral de linha por integral dupla da diferença das derivadas parciais da função vetorial sobre a região delimitada pela curva. Matematicamente falando, a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada é igual a integral dupla da sua rotacional sobre a região delimitada pela curva. Utilizamos esse teorema para calcular trabalho realizado por um campo de força em duas dimensões sobre uma partícula, também pode ser útil por exemplo, para determinar áreas de regiões do plano. Considerando campo vetorial: F y) (y2 x2), ao calcular a integral de linha deste campo ao longo da curva fechada, aplicamos Green, convertendo a integral de linha em integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Tópico 2 Teorema de Stokes: O teorema de Stokes é a propagação do teorema fundamental de linha, ordenando uma relação entre a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada, e a integral de superfície deste campo sobre a superfície delimitada pela curva, ou seja, ela é a difusão do teorema de Green para três dimensões, com a integral de superfície rotacional de um campo vetorial. Matematicamente ele relaciona rotacional do campo vetorial com a integral de linha sobre a curva. É utilizado para calcular trabalho realizado por um campo de força em três dimensões sobre uma partícula, resumindo é útil para problemas que envolvem a analise de campos vetoriais em três dimensões. Analisando um campo vetorial: F (x y uma superfície fechada S delimitada por uma curva C. Utilizando teorema de Stokes para relacionar a integral de linha de F ao longo de C com a integral de superfície de rot(F) sobre S. Tópico 3 Teorema de Gauss (ou teorema da divergência) Este mesmo estabelece a relação entre a integral de superfície do campo vetorial sobre uma superfície fechada e a integral tripla da divergência deste campo sobre volume delimitado pela mesma, ou seja, é mais diferente dos teoremas pois estabelece a relação entre a integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície ou uma determinada fronteira. Matematicamente teorema de Gauss conecta fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, com a distribuição de fontes de campo no interior da região delimitada pela superfície. É utilizada para calcular fluxo de saída. Em um campo vetorial F y (x2 y2 a superfície fechada S que envolve um sólido V. Aplicando Gauss para relacionar a integral de superfície F sobre S com a integral tripla da divergência de F sobre V. Isso seria útil em problemas que envolvem a analise de campos vetoriais e distribuições de cargas em três dimensões. Estes teoremas são fundamentais na matemática, podendo ser aplicados em física, engenharia e outras disciplinas. Relacionam diferentes conceitos como: campos vetoriais, integrais de linha, integrais de superfícies, Simplificando calculo, resolvendo problemas em diversas áreas, oferecendo métodos eficazes para analisar e compreender fenômenos complexos. about:blank 3/4</p><p>27/08/2024, 20:17 Avaliação Final (Discursiva) - Individual teoremas.pdfClique para baixar sua resposta Retorno da correção Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou esperado, demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. 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