Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\)? a) 0

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\), podemos usar a série de Taylor para \(\sin(x)\): \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] Substituindo na expressão do limite: \[ x - \sin(x) = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = \frac{x^3}{6} - O(x^5) \] Assim, temos: \[ \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} - O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{6} - O(x^2) \] Quando \(x\) se aproxima de 0, \(O(x^2)\) se aproxima de 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6} \] A resposta correta é \(\frac{1}{6}\), então a alternativa a) 0 está incorreta.