Cálculos Matemáticos Básicos

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5. **Qual é o valor de \(\int e^{2x} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 b) \(2e^{2x} + C\) 
 c) \(e^{2x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{4} e^{2x} + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, \(k = 2\), então: 
 \(\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C\). 
 
6. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx}(x^2 \ln(x))\)?** 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(2x \ln(x) - x\) 
 c) \(x^2 \cdot \frac{1}{x}\) 
 d) \(2x \cdot \frac{1}{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x}\) 
 **Resposta: a) \(2x \ln(x) + x\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: 
 \(\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv'\), onde \(u = x^2\) e \(v = \ln(x)\). Assim, \(u' = 2x\) e \(v' 
= \frac{1}{x}\), resultando em: 
 \(2x \ln(x) + x\). 
 
7. **Qual é a integral definida \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Portanto: 
 \(\int_0^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2\). 
 
8. **Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 3y\)?** 
 a) \(y = Ce^{3x}\) 
 b) \(y = Ce^{-3x}\) 
 c) \(y = 3x + C\) 
 d) \(y = 3e^{x}\) 
 **Resposta: a) \(y = Ce^{3x}\)** 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é dada por \(y = 
Ce^{kx}\), onde \(k = 3\). 
 
9. **Qual é o valor da série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)?** 
 a) \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{\pi^2}{6}\)** 
 **Explicação:** Esta série é conhecida como a série de Basileia e converge para 
\(\frac{\pi^2}{6}\). 
 
10. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 - 4}{5x^3 + 2}\)?** 
 a) 0 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{3}{5}\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: b) \(\frac{2}{5}\)** 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^3\), temos: 
 \(\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^3}}{5 + \frac{2}{x^3}} = \frac{2}{5}\). 
 
11. **Qual é a integral \(\int \cos(2x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
 b) \(-\frac{1}{2} \sin(2x) + C\) 
 c) \(\sin(2x) + C\) 
 d) \(-\sin(2x) + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2} \sin(2x) + C\)** 
 **Explicação:** A integral de \(\cos(kx)\) é \(\frac{1}{k} \sin(kx) + C\). Portanto: 
 \(\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C\). 
 
12. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2x^2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
13. **Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (3x^2 - 4) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral é: 
 \(\int (3x^2 - 4) \, dx = [x^3 - 4x]_1^2 = (8 - 8) - (1 - 4) = 0 + 3 = 3\). 
 
14. **Qual é o resultado da derivada da função \(f(x) = e^{3x}\)?** 
 a) \(3e^{3x}\) 
 b) \(e^{3x}\) 
 c) \(9e^{3x}\) 
 d) \(6e^{3x}\) 
 **Resposta: a) \(3e^{3x}\)** 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{kx}\) é \(ke^{kx}\). Portanto: 
 \(f'(x) = 3e^{3x}\). 
 
15. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\)?** 
 a) 0