Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx \)? A) \frac{1}{2} e B) \frac{1}{4} e C) \frac{1}{3} e D) \frac{1}{5} e

Para resolver a integral \( \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx \), podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). Assim, a integral se transforma em: \[ \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx = \int_0^1 (u^{3/2}) e^u \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 u e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int u e^u \, du \). Usamos a integração por partes, onde \( v = e^u \) e \( dv = e^u \, du \), e \( w = u \) e \( dw = du \). A fórmula de integração por partes é: \[ \int w \, dv = wv - \int v \, dw \] Aplicando isso, temos: \[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ u e^u - e^u \right]_0^1 = \left[ 1 \cdot e^1 - e^1 \right] - \left[ 0 \cdot e^0 - e^0 \right] = (e - e) - (0 - 1) = 1 \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 u e^u \, du = 1 \] Substituindo de volta na integral original: \[ \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \] Por fim, multiplicamos pelo fator \( e \): \[ \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e \] Assim, a alternativa correta é: A) \( \frac{1}{2} e \)