No limite verdadeiro de z^6 = -64, qual seu índice? A) 8 B) 6 C) 4 D) 3

Para resolver a questão sobre o limite verdadeiro de \( z^6 = -64 \), precisamos encontrar a raiz sexta de \(-64\). Podemos reescrever \(-64\) na forma polar. O número \(-64\) pode ser expresso como \(64 \text{cis} (180^\circ)\) ou \(64 \text{cis} (\pi)\), onde "cis" representa \( \cos + i \sin \). Agora, para encontrar as raízes, usamos a fórmula das raízes de um número complexo: \[ z_k = r^{1/n} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \] onde \( r = 64 \), \( \theta = \pi \), \( n = 6 \), e \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \). Calculando: 1. \( r^{1/6} = 64^{1/6} = 2 \) 2. As raízes são dadas por: \[ z_k = 2 \text{cis} \left( \frac{\pi + 2k\pi}{6} \right) \] Para \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \), obtemos 6 raízes. Portanto, o índice do limite verdadeiro de \( z^6 = -64 \) é 6. A alternativa correta é: B) 6.