Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\)? A) \(2x\sec^2(x^2)\) B) \(2\sec^2(x^2)\) C) \(x\sec^2(x^2)\) D) \(2x\sin(x^2)\)

Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \tan(x^2)\), vamos aplicar a regra da cadeia. 1. A derivada de \(\tan(u)\) em relação a \(u\) é \(\sec^2(u)\). 2. Aqui, \(u = x^2\), então a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é \(2x\). Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(x^2)) = \sec^2(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \sec^2(x^2) \cdot 2x \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 2x\sec^2(x^2) \] Assim, a alternativa correta é: A) \(2x\sec^2(x^2)\).