Para resolver a equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \), podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 2 \) e \( c = 2 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \] Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas. Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ z = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i \] Agora, precisamos expressar \( z = -1 \pm i \) na forma polar \( re^{i\theta} \). Calculando o módulo \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Calculando o argumento \( \theta \): Para \( z = -1 + i \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-1}\right) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{no segundo quadrante}) \] Para \( z = -1 - i \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{7\pi}{4} \quad (\text{no quarto quadrante}) \] Assim, temos duas raízes: 1. \( r = \sqrt{2}, \theta = \frac{3\pi}{4} \) (para \( -1 + i \)) 2. \( r = \sqrt{2}, \theta = \frac{7\pi}{4} \) (para \( -1 - i \)) Nenhuma das alternativas apresenta \( r = \sqrt{2} \), mas se considerarmos \( r = 2 \) como uma possibilidade de erro de digitação, a alternativa que mais se aproxima é: c) r = 2, θ = \frac{3π}{4} Entretanto, a resposta correta com base nos cálculos é \( r = \sqrt{2} \) e \( \theta = \frac{3\pi}{4} \). Se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, a mais próxima é a c).