Para encontrar a forma trigonométrica do número complexo \( z = 1 + i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: \[ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \] Agora, podemos expressar \( z \) na forma trigonométrica: \[ z = |z| \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Analisando as alternativas: A) \( \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \) - Correta. B) \( \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right) \) - Incorreta. C) \( \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \) - Incorreta. D) \( \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \).