Para resolver a integral \(\int x^2 e^{3x} \, dx\), podemos usar o método de integração por partes, que é dado pela fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = x^2\) (então \(du = 2x \, dx\)) - \(dv = e^{3x} \, dx\) (então \(v = \frac{1}{3} e^{3x}\)) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} (2x) \, dx \] A integral \(\int 2x e^{3x} \, dx\) também pode ser resolvida por partes. Usando novamente a integração por partes, com: - \(u = 2x\) (então \(du = 2 \, dx\)) - \(dv = e^{3x} \, dx\) (então \(v = \frac{1}{3} e^{3x}\)) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int 2x e^{3x} \, dx = \frac{2}{3} x e^{3x} - \int \frac{2}{3} e^{3x} \, dx \] A integral \(\int e^{3x} \, dx\) é \(\frac{1}{3} e^{3x}\). Portanto, substituindo tudo de volta, obtemos: \[ \int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \left( \frac{2}{3} x e^{3x} - \frac{2}{9} e^{3x} \right) \] Simplificando, temos: \[ \int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} (x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{2}{9}) \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{9} e^{3x} (3x^2 - 2)\) B) \(\frac{1}{9} e^{3x} (3x + 2)\) C) \(\frac{1}{3} e^{3x} (x^2 - 2)\) D) \(\frac{1}{3} e^{3x} (3x^2 + 2)\) A alternativa correta, que se aproxima da forma que encontramos, é a A) \(\frac{1}{9} e^{3x} (3x^2 - 2)\).