testes com k KL

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D) \(\frac{1}{4}\) 
**Resposta: B) 2** 
**Explicação:** Usando frações parciais, temos: 
\[ 
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) 
\] 
A série telescópica converge para 2. 
 
### 27. Qual é o valor da derivada de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)? 
A) \(3x^2 - 12x + 9\) 
B) \(3x^2 - 6x + 9\) 
C) \(3x^2 - 6x\) 
D) \(2x^2 - 6x + 9\) 
**Resposta: A) \(3x^2 - 12x + 9\)** 
**Explicação:** A derivada de \(f(x)\) é: 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
### 28. Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx\)? 
A) \(\ln(1 + \sqrt{2})\) 
B) \(\frac{\pi}{4}\) 
C) \(\ln(2)\) 
D) \(\frac{\pi}{8}\) 
**Resposta: A) \(\ln(1 + \sqrt{2})\)** 
**Explicação:** A integral de \(\tan(x)\) é \(-\ln|\cos(x)|\). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{4}\): 
\[ 
-\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| + \ln(1) = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} 
\ln(2) 
\] 
 
### 29. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Infinito 
**Resposta: B) 1** 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
\[ 
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 
\] 
 
### 30. Qual é a integral de \(\int x^2 e^{3x} \, dx\)? 
A) \(\frac{1}{9} e^{3x} (3x^2 - 2)\) 
B) \(\frac{1}{9} e^{3x} (3x + 2)\) 
C) \(\frac{1}{3} e^{3x} (x^2 - 2)\) 
D) \(\frac{1}{3} e^{3x} (3x^2 + 2)\) 
**Resposta: A) \(\frac{1}{9} e^{3x} (3x^2 - 2)\)** 
**Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, encontramos a solução. 
 
### 31. Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2\)? 
A) \(y = \frac{1}{x + C}\) 
B) \(y = C e^{-x}\) 
C) \(y = C e^{x}\) 
D) \(y = x + C\) 
**Resposta: A) \(y = \frac{1}{x + C}\)** 
**Explicação:** Separando as variáveis e integrando: 
\[ 
\int \frac{1}{y^2} dy = \int dx \implies -\frac{1}{y} = x + C \implies y = \frac{1}{x + C} 
\] 
 
### 32. Qual é o valor de \(\int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\)? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
**Resposta: C) 3** 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = x^4 - x^3 + 2x + C 
\] 
Calculando de 0 a 1: 
\[ 
\left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - (0) = 2 
\] 
 
### 33. Qual é o valor de \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\)? 
A) \(\frac{\pi^4}{90}\) 
B) 1 
C) \(\infty\) 
D) 0 
**Resposta: A) \(\frac{\pi^4}{90}\)** 
**Explicação:** Esta é uma série conhecida que converge para \(\frac{\pi^4}{90}\). 
 
### 34. Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta: A) 0** 
**Explicação:** A integral é: 
\[ 
\int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C