Para encontrar a forma polar do número complexo \(3 - 4i\), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: O módulo \(r\) é dado por: \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Argumento: O argumento \(\theta\) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{3}\right) \] O número \(3 - 4i\) está no quarto quadrante, então precisamos ajustar o ângulo. O ângulo correspondente no quarto quadrante é: \[ \theta = -\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \quad \text{ou} \quad \theta = 2\pi - \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \] O ângulo que corresponde a \(3 - 4i\) é \( -\frac{4}{3} \) ou \( \frac{5\pi}{4} \) (em radianos). Portanto, a forma polar é: \[ 5\left(\cos\left(-\frac{4}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{4}{3}\right)\right) \] Analisando as alternativas: A) \(5\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)\) - Correto, pois \(\frac{5\pi}{4}\) está no terceiro quadrante. B) \(5\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\) - Errado, pois \(\frac{3\pi}{4}\) está no segundo quadrante. C) \(5\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\) - Errado, pois \(\frac{\pi}{4}\) está no primeiro quadrante. D) \(5\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)\) - Errado, pois \(\frac{7\pi}{4}\) está no quarto quadrante. Portanto, a alternativa correta é: A) \(5\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)\).