Determine o valor de k para que a equação z^2 + kz + 12 = 0 tenha raízes reais. a) k ≥ 12 b) k ≤ 12 c) k < 12 d) k > 12

Para que a equação quadrática \( z^2 + kz + 12 = 0 \) tenha raízes reais, o discriminante (Δ) deve ser maior ou igual a zero. O discriminante é dado por: \[ Δ = b^2 - 4ac \] Neste caso, \( a = 1 \), \( b = k \) e \( c = 12 \). Portanto, temos: \[ Δ = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \] \[ Δ = k^2 - 48 \] Para que as raízes sejam reais, precisamos que: \[ k^2 - 48 \geq 0 \] Resolvendo essa inequação: \[ k^2 \geq 48 \] Isso implica que: \[ k \geq \sqrt{48} \quad \text{ou} \quad k \leq -\sqrt{48} \] Como \(\sqrt{48} \approx 6.93\), podemos concluir que \(k\) deve ser maior ou igual a \( \sqrt{48} \) ou menor ou igual a \(-\sqrt{48}\). Analisando as alternativas, a única que se encaixa na condição \( k \geq \sqrt{48} \) é: a) k ≥ 12 Portanto, a resposta correta é: a) k ≥ 12.