02. (UFSM-RS) Desenvolvendo o binômio (2x – 1)8, o quociente entre o quarto e o terceiro termos é: A) –4 B) –x C) x D) − 1/x E) 4x

Para resolver a questão, precisamos usar o Teorema do Binômio para desenvolver o binômio \((2x - 1)^8\) e encontrar o terceiro e o quarto termos. O termo geral do binômio é dado por: \[ T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] onde \(n\) é o expoente, \(a\) é o primeiro termo, \(b\) é o segundo termo, e \(k\) é a posição do termo (começando de 0). No nosso caso, temos: - \(n = 8\) - \(a = 2x\) - \(b = -1\) Terceiro termo (\(T_2\)): \[ T_2 = \binom{8}{2} (2x)^{8-2} (-1)^2 = \binom{8}{2} (2x)^6 (1) \] Calculando: \[ \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] \[ (2x)^6 = 64x^6 \] Portanto: \[ T_2 = 28 \times 64x^6 = 1792x^6 \] Quarto termo (\(T_3\)): \[ T_3 = \binom{8}{3} (2x)^{8-3} (-1)^3 = \binom{8}{3} (2x)^5 (-1) \] Calculando: \[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] \[ (2x)^5 = 32x^5 \] Portanto: \[ T_3 = 56 \times 32x^5 \times (-1) = -1792x^5 \] Quociente entre o quarto e o terceiro termos: Agora, precisamos encontrar o quociente entre o quarto e o terceiro termos. O quarto termo é \(T_3\) e o terceiro termo é \(T_2\). \[ \text{Quociente} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{-1792x^5}{1792x^6} = \frac{-1}{x} \] Portanto, a resposta correta é: D) \(-\frac{1}{x}\)