O ponto da circunferência x2 + y2 = 1 mais próximo do ponto (5, 5) tem coordenadas cuja soma vale: A) 2 B) ¹2 C) 2¹2 D) 2 4 E) 3¹2

Para encontrar o ponto da circunferência \(x^2 + y^2 = 1\) que está mais próximo do ponto \((5, 5)\), precisamos minimizar a distância entre um ponto \((x, y)\) na circunferência e o ponto \((5, 5)\). A distância \(d\) entre os pontos \((x, y)\) e \((5, 5)\) é dada por: \[ d = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 5)^2} \] Como estamos lidando com a minimização da distância, podemos minimizar \(d^2\) para simplificar os cálculos: \[ d^2 = (x - 5)^2 + (y - 5)^2 \] Substituindo \(y\) pela equação da circunferência \(y = \sqrt{1 - x^2}\) (considerando a parte superior da circunferência), temos: \[ d^2 = (x - 5)^2 + (\sqrt{1 - x^2} - 5)^2 \] Para encontrar o ponto mais próximo, podemos usar a técnica de derivadas ou geometria. No entanto, uma abordagem mais simples é perceber que o ponto mais próximo na circunferência de centro na origem e raio 1 será na direção do ponto \((5, 5)\). A direção do ponto \((5, 5)\) é dada pelo vetor \((5, 5)\). Normalizando esse vetor, obtemos: \[ \text{Norma} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] O vetor unitário na direção de \((5, 5)\) é: \[ \left(\frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] Multiplicando pelo raio da circunferência (que é 1): \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] As coordenadas do ponto mais próximo são \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\). Agora, somando as coordenadas: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Portanto, a soma das coordenadas do ponto mais próximo é: B) \( \sqrt{2} \).