Qual é o resultado da integral ∫C (1/z) dz, onde C é uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário? A) 2πi B) 0 C) 2π D) -2πi

Matematicamente

há 2 anos

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Para resolver a integral \(\int_C \frac{1}{z} \, dz\), onde \(C\) é uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário, podemos usar o Teorema de Cauchy, que afirma que a integral de uma função analítica em torno de um ponto singular é igual a \(2\pi i\) vezes a soma das residuais dentro da curva. A função \(\frac{1}{z}\) tem um polo simples na origem (z = 0), e a integral ao redor desse polo, no sentido anti-horário, resulta em: \[ \int_C \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i \] Portanto, a alternativa correta é: A) \(2\pi i\)

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Considere a função f(z) = z^2 + 1. Qual é a imagem de f(z) quando z percorre a reta real?

A) { w ∈ ℂ : Im(w) = 1 }
B) { w ∈ ℂ : Im(w) = 0 }
C) { w ∈ ℂ : Re(w) ≥ 1 }
D) { w ∈ ℂ : Re(w) ≥ 0 }

Determine o limite lim(z → 0) (sin(z)/z).

A) 0
B) 1
C) ∞
D) Não existe

Qual é a derivada da função f(z) = e^{z^2} em relação a z?

A) 2ze^{z^2}
B) e^{z^2}
C) z e^{z^2}
D) 2z^2 e^{z^2}

O que representa o conjunto de pontos onde a função f(z) = 1/z não é definida?

A) O círculo unitário
B) O ponto z = 0
C) Todos os números complexos
D) O eixo real

Matemática

Qual é o resultado da integral ∫C (1/z) dz, onde C é uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário? A) 2πi B) 0 C) 2π D) -2πi

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B) { w ∈ ℂ : Im(w) = 0 }
C) { w ∈ ℂ : Re(w) ≥ 1 }
D) { w ∈ ℂ : Re(w) ≥ 0 }

Determine o limite lim(z → 0) (sin(z)/z).

A) 0
B) 1
C) ∞
D) Não existe

Qual é a derivada da função f(z) = e^{z^2} em relação a z?

A) 2ze^{z^2}
B) e^{z^2}
C) z e^{z^2}
D) 2z^2 e^{z^2}

O que representa o conjunto de pontos onde a função f(z) = 1/z não é definida?

A) O círculo unitário
B) O ponto z = 0
C) Todos os números complexos
D) O eixo real

Qual é o valor de lim(z → 1) (z^2 - 1)/(z - 1)?

A) 0
B) 1
C) 2
D) Não existe

Determine a integral ∫0^{2π} e^{iθ} dθ.

A) 0
B) 2πi
C) 1
D) 2π

Qual é o resultado de d²/dz²(e^{z})?

A) e^{z}
B) e^{z} + z
C) 0
D) 2e^{z}

Qual é a condição necessária para que a série ∑(n=1)^{∞} (z^n/n²) converja?

A) |z| < 1
B) |z| ≤ 1
C) |z| > 1
D) z deve ser um número real

Qual é o resultado do Teorema de Cauchy para a função f(z) = z² ao longo do caminho circular de raio r centrado na origem?

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C) z e^{z^2}
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A) 0
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B) |z| ≤ 1
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