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Análise Matemática

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Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a multiplicação de números naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente: I- Dados três números naturais m, n e p, m . (n + p) = m . n + m . p. II- Dados três números naturais m, n e p, m . (n . p) = (m . n) . p. III- Sejam m, n, temos que m . n = m . (-n). IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. Assinale a alternativa CORRETA:

a) As sentenças I, II e IV estão corretas.
b) Somente a sentença I está correta.
c) As sentenças I e II estão corretas.
d) As sentenças II e III estão corretas.

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Ed

há 10 meses

Vamos analisar cada uma das sentenças: I- Dados três números naturais m, n e p, m . (n + p) = m . n + m . p. Esta é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, e está correta. II- Dados três números naturais m, n e p, m . (n . p) = (m . n) . p. Esta é uma afirmação incorreta. A propriedade correta é a associativa da multiplicação, que diz que m . (n . p) = (m . n) . p, mas a forma apresentada não é válida. III- Sejam m, n, temos que m . n = m . (-n). Esta afirmação é falsa, pois a multiplicação de um número natural por um número negativo não é igual à multiplicação de dois números naturais. IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. Esta afirmação é verdadeira, pois todo número natural (exceto o zero) é o sucessor de algum número natural. Agora, vamos resumir as sentenças corretas: - A sentença I está correta. - A sentença II está incorreta. - A sentença III está incorreta. - A sentença IV está correta. Portanto, as sentenças corretas são I e IV. A alternativa que contém todas as sentenças corretas é: a) As sentenças I, II e IV estão corretas. No entanto, como a II está incorreta, a resposta correta é: a) As sentenças I, II e IV estão corretas.

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Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais ímpares:

a) (n²+n)/2n
b) n(n+2)/2
c) n(n²+2)/2n
d) n²

Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida, provamos que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 2, 6, 24, 120, ...} é enumerável?

a) n!
b) (n-1)n
c) (n+1)!
d) (n-1)n!

Um conjunto é dito enumerável se é finito ou se existe uma bijeção entre ele e o conjunto dos números naturais. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas conjuntos enumeráveis:

a) Conjunto dos números pares; conjunto dos números inteiros; conjunto dos números racionais.
b) Conjunto dos números complexos; conjunto dos números irracionais positivos; conjunto dos divisores de 240.
c) Conjunto dos números primos; conjunto dos números irracionais; conjunto dos números ímpares.
d) Conjunto dos múltiplos de 3; conjunto dos números reais; conjunto dos números naturais.

Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm propriedades que muito intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este motivo, várias são as possibilidades dentro da análise matemática para comprovar que um conjunto é infinito. Sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas para concluir que um conjunto é infinito e a seguir assinale a alternativa CORRETA:

a) V - F - F - F.
b) F - V - V - F.
c) F - V - F - V.
d) V - V - V - F.

A propriedade da tricotomia é válida em conjuntos que possuem boa ordenação. Como o conjunto dos naturais é um conjunto bem ordenado, assinale a alternativa CORRETA:

a) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor que n, ou m é igual a n.
b) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor ou igual a n, ou m é igual a n.
c) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior que n, ou m é menor que n.
d) Dados dois números naturais, m e n, tem-se que: m é maior ou igual a n, ou m é menor que n, ou m é igual a n.

Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial e integral, medidas, limites, séries infinitas e funções analíticas. Porém, seu início se dá em um estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é de fundamental importância no estudo dos conceitos anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos conjuntos numéricos a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito. ( ) O conjunto dos números naturais N é finito. ( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável. ( ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo. Assinale a alternativa CORRETA:

a) V - V - F - F.
b) F - F - V - V.
c) F - V - V - F.
d) V - F - F - V.

Na matemática, toda e qualquer afirmação precisa ser provada a partir de fatos considerados válidos ou verdadeiros. Uma vez provada a afirmação, ela vale para sempre. Basicamente existem três tipos de provas matemáticas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os três tipos de provas:

A) Prova indireta, prova por indução e prova por comparação.
B) Prova concreta, prova por comparação e prova por contradição.
C) Prova direta, prova por comparação e prova por absurdo.
D) Prova direta, prova por indução e prova por absurdo.

Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:

a) Contradição.
b) Absurdo.
c) Indução.
d) Prova Direta.