1 — Se u = (2,−1, 2) e v = (1, 2,−2), encontre escalares a, b tais que w = au + bv e w · v = 0.

Você precisa encontrar os escalares \( a \) e \( b \) tais que \( w = au + bv \) e \( w \cdot v = 0 \). Isso significa que \( w \) deve ser ortogonal a \( v \). Primeiro, vamos expressar \( w \): \[ w = a(2, -1, 2) + b(1, 2, -2) = (2a + b, -a + 2b, 2a - 2b) \] Agora, precisamos calcular o produto escalar \( w \cdot v \): \[ w \cdot v = (2a + b) \cdot 1 + (-a + 2b) \cdot 2 + (2a - 2b) \cdot (-2) \] \[ = 2a + b - 2a + 4b - 4a + 4b \] \[ = -4a + 9b \] Para que \( w \cdot v = 0 \), temos: \[ -4a + 9b = 0 \] Isso nos dá a relação entre \( a \) e \( b \): \[ 4a = 9b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{9}{4}b \] Agora, você pode escolher um valor para \( b \) e calcular \( a \). Por exemplo, se \( b = 4 \), então: \[ a = \frac{9}{4} \cdot 4 = 9 \] Assim, uma solução é \( a = 9 \) e \( b = 4 \). Você pode escolher outros valores para \( b \) e calcular \( a \) de acordo.