5 — Decomponha o vetor u = −i− 3j+ 2k como a soma de dois vetores v1 e v2, com v1 paralelo ao vetor j + 3k e v2 ortogonal a este último.

Question

Ed · Answer

Para decompor o vetor $ \mathbf{u} = -\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} $ em dois vetores $ \mathbf{v_1} $ e $ \mathbf{v_2} $, onde $ \mathbf{v_1} $ é paralelo ao vetor $ \mathbf{j} + 3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{v_2} $ é ortogonal a este último, siga os passos abaixo:

1. **Identifique o vetor paralelo**: O vetor $ \mathbf{j} + 3\mathbf{k} $ pode ser escrito como $ \mathbf{a} = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} $.

2. **Encontre a projeção de $ \mathbf{u} $ em $ \mathbf{a} $**:
   A projeção de $ \mathbf{u} $ em $ \mathbf{a} $ é dada por:
   $$
   \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
   $$

Primeiro, calcule $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} $:
   $$
   \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} = (-1)(0) + (-3)(1) + (2)(3) = -3 + 6 = 3
   $$

Agora, calcule $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} $:
   $$
   \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = (0)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 0 + 1 + 9 = 10
   $$

Agora, substitua na fórmula da projeção:
   $$
   \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \frac{3}{10} \mathbf{a} = \frac{3}{10}(0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = 0\mathbf{i} + \frac{3}{10}\mathbf{j} + \frac{9}{10}\mathbf{k}
   $$

Portanto, $ \mathbf{v_1} = 0\mathbf{i} + \frac{3}{10}\mathbf{j} + \frac{9}{10}\mathbf{k} $.

3. **Calcule $ \mathbf{v_2} $**:
   Agora, para encontrar $ \mathbf{v_2} $, subtraia $ \mathbf{v_1} $ de $ \mathbf{u} $:
   $$
   \mathbf{v_2} = \mathbf{u} - \mathbf{v_1} = (-\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - (0\mathbf{i} + \frac{3}{10}\mathbf{j} + \frac{9}{10}\mathbf{k})
   $$
   $$
   \mathbf{v_2} = -\mathbf{i} - \left(3 + \frac{3}{10}\right)\mathbf{j} + \left(2 - \frac{9}{10}\right)\mathbf{k}
   $$
   $$
   \mathbf{v_2} = -\mathbf{i} - \frac{30}{10} - \frac{3}{10}\mathbf{j} + \frac{20}{10} - \frac{9}{10}\mathbf{k}
   $$
   $$
   \mathbf{v_2} = -\mathbf{i} - \frac{33}{10}\mathbf{j} + \frac{11}{10}\mathbf{k}
   $$

4. **Resultado**:
   Assim, temos:
   $$
   \mathbf{v_1} = 0\mathbf{i} + \frac{3}{10}\mathbf{j} + \frac{9}{10}\mathbf{k}
   $$
   $$
   \mathbf{v_2} = -\mathbf{i} - \frac{33}{10}\mathbf{j} + \frac{11}{10}\mathbf{k}
   $$

Esses são os vetores $ \mathbf{v_1} $ e $ \mathbf{v_2} $ que satisfazem as condições do problema.

Geometria Analítica

5 — Decomponha o vetor u = −i− 3j+ 2k como a soma de dois vetores v1 e v2, com v1 paralelo ao vetor j + 3k e v2 ortogonal a este último.

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1 — Se u = (2,−1, 2) e v = (1, 2,−2), encontre escalares a, b tais que w = au + bv e w · v = 0.

2 — Considere um triângulo cujos vértices são (3, 1) , (5,−2) e (6, 3). a) Ache os três ângulos internos do triângulo. b) Ache também a área do triângulo encontrando sua altura. c) Ache também a área do triângulo via produto vetorial.

3 — Dados vetores a,b e c tais que a+b+c = 0 com ‖a‖ = 3, ‖b‖ = 5 e ‖c‖ = 7. Calcule o ângulo entre a e b.

6 — Suponha que −→AB seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo. Mostre que os vetores −→CA e −→CB são ortogonais.

7 — Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.

8 — Mostre que ‖u + v‖ = ‖u − v‖ se e somente se u · v = 0. [Note que esse exercício prova que um paralelogramo é um retângulo se e somente se o comprimento das diagonais é o mesmo.]

9 — Calcule o produto vetorial entre a) 7i− 3j+ 6k e 5i− 15j− 13k b) 6i− 16j− 15k e 3i+ 3j− 2k c) 3i+ 3j e 5i+ 4j

10 — Se u = (3, 41), v =(2, 3, 2) e w =(4, 2, 3) encontre a) 2u+3v − 7w b) u ·w c) v ·w, d) u · v, e) u× v, f) v × u g) w · (v × u)

11 — Considere A = (−1, 1, 2), B =(0, 1, 3) e C = (−1, 2, 8). Encontre a área do paralelogramo de lados AB e AC.

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