7 — Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.

Para calcular o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo, podemos seguir os seguintes passos: 1. Definir as diagonais: Considere um cubo com vértices em \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 0, 0)\), \(C(1, 1, 0)\), \(D(0, 1, 0)\), \(E(0, 0, 1)\), \(F(1, 0, 1)\), \(G(1, 1, 1)\) e \(H(0, 1, 1)\). Vamos calcular as diagonais \(AC\) e \(EG\). 2. Encontrar os vetores das diagonais: - Para a diagonal \(AC\): \(A(0, 0, 0)\) a \(C(1, 1, 0)\) resulta no vetor \(\vec{AC} = (1, 1, 0)\). - Para a diagonal \(EG\): \(E(0, 0, 1)\) a \(G(1, 1, 1)\) resulta no vetor \(\vec{EG} = (1, 1, 0)\). 3. Calcular o produto escalar: \[ \vec{AC} \cdot \vec{EG} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2 \] 4. Calcular as magnitudes dos vetores: - \(|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\) - \(|\vec{EG}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\) 5. Usar a fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{EG}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{EG}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{2} = 1 \] Portanto, o cosseno do ângulo formado pelas diagonais \(AC\) e \(EG\) é \(1\), o que indica que elas são paralelas.