Para determinar os intervalos de concavidade da função \( f(x) = \frac{x - 1}{x + 2} \), precisamos calcular a segunda derivada da função. 1. Primeira derivada: Usando a regra do quociente, temos: \[ f'(x) = \frac{(x + 2)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{x + 2 - x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2} \] 2. Segunda derivada: Agora, vamos derivar \( f'(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{(x + 2)^2} \right) = -\frac{3 \cdot 2}{(x + 2)^3} = -\frac{6}{(x + 2)^3} \] 3. Análise da concavidade: - A concavidade da função é determinada pelo sinal da segunda derivada \( f''(x) \). - \( f''(x) < 0 \) quando \( (x + 2)^3 > 0 \) (concavidade voltada para baixo). - \( f''(x) > 0 \) quando \( (x + 2)^3 < 0 \) (concavidade voltada para cima). 4. Intervalos: - \( (x + 2)^3 > 0 \) quando \( x + 2 > 0 \) ou seja, \( x > -2 \) (concavidade voltada para baixo). - \( (x + 2)^3 < 0 \) quando \( x + 2 < 0 \) ou seja, \( x < -2 \) (concavidade voltada para cima). Portanto, os intervalos são: - Concavidade voltada para cima: \( (-\infty, -2) \) - Concavidade voltada para baixo: \( (-2, +\infty) \) Lembre-se de que em \( x = -2 \) a função não está definida, pois é uma assíntota vertical.