Para resolver essa questão, vamos primeiro entender o que é a média aritmética e a mediana. 1. Média Aritmética: A média aritmética dos cinco números é dada pela soma dos números dividida pela quantidade de números. 2. Mediana: A mediana é o valor que separa a metade superior da metade inferior de um conjunto de dados. Para um conjunto com um número ímpar de elementos, a mediana é o valor do meio quando os números estão ordenados. Vamos considerar o conjunto {5, 6, 10, 11} e incluir um número natural \( n \). ### Passo 1: Calcular a soma e a média A soma dos números do conjunto original é: \[ 5 + 6 + 10 + 11 = 32 \] Se incluirmos \( n \), a nova soma será: \[ 32 + n \] A média aritmética dos cinco números será: \[ \text{Média} = \frac{32 + n}{5} \] ### Passo 2: Determinar a mediana A mediana depende do valor de \( n \). Vamos analisar os casos: - Se \( n < 5 \): O conjunto será {n, 5, 6, 10, 11}. A mediana será 6. - Se \( 5 \leq n < 6 \): O conjunto será {5, n, 6, 10, 11}. A mediana será 6. - Se \( 6 \leq n < 10 \): O conjunto será {5, 6, n, 10, 11}. A mediana será n. - Se \( 10 \leq n < 11 \): O conjunto será {5, 6, 10, n, 11}. A mediana será 10. - Se \( n \geq 11 \): O conjunto será {5, 6, 10, 11, n}. A mediana será 10. ### Passo 3: Igualar média e mediana Agora, vamos igualar a média à mediana para cada caso: 1. Para \( n < 5 \) e \( n \) entre 5 e 6: \[ \frac{32 + n}{5} = 6 \] \[ 32 + n = 30 \] \[ n = -2 \] (não é natural) 2. Para \( 6 \leq n < 10 \): \[ \frac{32 + n}{5} = n \] \[ 32 + n = 5n \] \[ 32 = 4n \] \[ n = 8 \] 3. Para \( 10 \leq n < 11 \): \[ \frac{32 + n}{5} = 10 \] \[ 32 + n = 50 \] \[ n = 18 \] 4. Para \( n \geq 11 \): \[ \frac{32 + n}{5} = 10 \] \[ 32 + n = 50 \] \[ n = 18 \] (já considerado) ### Passo 4: Somar os valores possíveis de \( n \) Os valores possíveis de \( n \) que satisfazem a condição são 8 e 18. Portanto, a soma é: \[ 8 + 18 = 26 \] Assim, a resposta correta é: e) 26.