Considere a função f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Qual é o valor de x para o qual a função atinge seu valor mínimo? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para encontrar o valor de \( x \) onde a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) atinge seu valor mínimo, precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Calcule a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Igualando a derivada a zero: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] 3. Os pontos críticos são: \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2 \] 4. Para determinar qual desses pontos é um mínimo, podemos usar a segunda derivada: \[ f''(x) = 6x - 6 \] 5. Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos: - Para \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{máximo}) \] - Para \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{mínimo}) \] Portanto, a função atinge seu valor mínimo em \( x = 2 \). A alternativa correta é: c) 2.