Para determinar o ponto de mínimo local da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), precisamos encontrar a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Derivada da função: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Igualando a derivada a zero: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] Isso nos dá os pontos críticos \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Analisando a segunda derivada para determinar a concavidade: \[ f''(x) = 6x - 6 \] - Para \( x = 0 \): \[ f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{máximo local}) \] - Para \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{mínimo local}) \] 4. Calculando o valor da função no ponto \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] Portanto, o ponto de mínimo local da função é \( (2, 0) \). No entanto, como a opção correta não está listada, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Se considerarmos apenas os pontos dados nas alternativas, a opção mais próxima que poderia ser considerada é a b) (2, 4), mas o valor correto de \( f(2) \) é 0, não 4. Assim, a resposta correta, com base na análise, é que o ponto de mínimo local é \( (2, 0) \), mas entre as opções dadas, a mais próxima é a b) (2, 4).