Para determinar o valor de \( x \) para o qual a derivada \( f'(x) \) atinge seu valor máximo, precisamos primeiro calcular a derivada da função \( f(x) = e^{-x} \cos(x) \). Usando a regra do produto, temos: \[ f'(x) = e^{-x} \cdot (-\sin(x)) + \cos(x) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(-\sin(x) - \cos(x)) \] Agora, para encontrar o máximo da derivada \( f'(x) \), precisamos analisar a função \( f'(x) \) e encontrar onde sua derivada \( f''(x) \) é igual a zero ou onde muda de sinal. Entretanto, como a questão pede apenas o valor de \( x \) entre as opções dadas, podemos avaliar as alternativas: - a) \( \frac{\pi}{4} \) - b) \( 0 \) - c) \( 1 \) - d) \( \frac{\pi}{2} \) Para simplificar, podemos avaliar \( f'(x) \) em cada um desses pontos e observar onde ele atinge um valor máximo. 1. Para \( x = 0 \): \[ f'(0) = e^{0}(-\sin(0) - \cos(0)) = -1 \] 2. Para \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{-\frac{\pi}{4}}\left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = e^{-\frac{\pi}{4}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}} \] 3. Para \( x = 1 \): \[ f'(1) = e^{-1}(-\sin(1) - \cos(1)) \] 4. Para \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{-\frac{\pi}{2}}(-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)) = -e^{-\frac{\pi}{2}} \] Analisando os valores, o valor de \( f'(x) \) é maior em \( x = 0 \) do que nas outras opções. Portanto, a derivada atinge seu valor máximo em: b) 0.