Sabendo que a integral ∫∞ x.2-x dx, diverge, seu valor será: 0 1 (ln2)2 e -1 ln5

Para resolver a integral \(\int_{0}^{\infty} x \cdot 2^{-x} \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = x\) e \(dv = 2^{-x} dx\) - Então, \(du = dx\) e \(v = -\frac{2^{-x}}{\ln(2)}\) Aplicando a integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int x \cdot 2^{-x} \, dx = -\frac{x \cdot 2^{-x}}{\ln(2)} \bigg|_{0}^{\infty} + \frac{1}{\ln(2)} \int 2^{-x} \, dx \] A integral \(\int 2^{-x} \, dx\) é: \[ -\frac{2^{-x}}{\ln(2)} \bigg|_{0}^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{\ln(2)}\right) = \frac{1}{\ln(2)} \] Portanto, a integral original converge e seu valor é: \[ \int_{0}^{\infty} x \cdot 2^{-x} \, dx = \frac{1}{(\ln(2))^2} \] Assim, a resposta correta é \((\ln(2))^2\).