Para aplicar o Teorema do Resto, precisamos substituir o valor de \( x \) pelo valor que faz o divisor igual a zero. Vamos analisar cada alternativa: a) \( x - 1 \) → \( x = 1 \) b) \( x + 1 \) → \( x = -1 \) c) \( x - 3 \) → \( x = 3 \) d) \( x + 4 \) → \( x = -4 \) e) \( x - \frac{1}{2} \) → \( x = \frac{1}{2} \) Agora, vamos calcular o resto para cada um: 1. Para \( x - 1 \) (substituindo \( x = 1 \)): \[ P(1) = 1^3 - 4(1^2) + 5(1) - 1 = 1 - 4 + 5 - 1 = 1 \] 2. Para \( x + 1 \) (substituindo \( x = -1 \)): \[ P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 5(-1) - 1 = -1 - 4 - 5 - 1 = -11 \] 3. Para \( x - 3 \) (substituindo \( x = 3 \)): \[ P(3) = 3^3 - 4(3^2) + 5(3) - 1 = 27 - 36 + 15 - 1 = 5 \] 4. Para \( x + 4 \) (substituindo \( x = -4 \)): \[ P(-4) = (-4)^3 - 4(-4)^2 + 5(-4) - 1 = -64 - 64 - 20 - 1 = -149 \] 5. Para \( x - \frac{1}{2} \) (substituindo \( x = \frac{1}{2} \)): \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{8} - 1 + \frac{5}{2} - 1 = \frac{1}{8} - 1 + \frac{20}{8} - \frac{8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] Agora, temos os restos: - a) \( 1 \) - b) \( -11 \) - c) \( 5 \) - d) \( -149 \) - e) \( \frac{3}{2} \) Portanto, o resto da divisão de \( x^3 - 4x^2 + 5x - 1 \) por \( x - 1 \) é \( 1 \). Assim, a alternativa correta é: a) x - 1.