Expressões Algébricas problemas propostos e resolvidos

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS
PROF. EDILSON MACHADO
1. Problemas Propostos:
Problema 1: Indique por meio de expressões algébricas:
a) o dobro de n.
b) 20% de n.
c) o sucessor de x.
d) a metade da soma entre x e 3.
e) o cubo de y.
Problema 2: Determine a área de um retângulo cujas dimensões (comprimento e largura) são:
a) 2x e x.
b) 2x e (x+ 1).
c) (x− 1) e (x+ 2).
Problema 3: Considere os monômios A = 8x3y2 e B = 4xy. Determine:
a) AB.
b)
A
B
.
Problema 4: Sejam os polinômios P = 3x2 + 4x− 8 e Q = x2 + 1, determine:
a) P +Q.
b) P −Q.
c) PQ.
1
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 2
Problema 5: Efetue as multiplicações:
a) (a+ 1) (a2 − 6a+ 4).
b) (3a− b) (3ab+ 2a− b).
c)
a2
4
(
1, 2a2 + 1, 6a+
8
3
)
.
Problema 6: Um taxista cobra, por corrida, R$3, 00 como preço fixo inicial e mais R$2, 50 para cada
quilômetro (km) rodado.
a) Determine a expressão que representa quanto será cobrado por uma corrida de xkm.
b) Quanto custa uma corrida de 9km?
Problema 7: Os produtos algébricos da forma (x+ a) (x+ b), onde x e variável e a e b são números reais
quaisquer, podem ser calculados usando-se a distributividade, obtemos assim
(x+ a) (x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab
Veja que o coeficiente de x é a soma de a e b e o coeficiente independente de x é ab. Por
exemplo, (x+ 2) (x+ 5) = x2 + 7x+ 10. Utilize este princípio e calcule os produtos:
a) (x+ 1) (x+ 2).
b) (x+ 3) (x+ 9).
c) (x− 2) (x+ 3).
d) (x− 4) (x+ 4).
e) (x+ 5)2.
f) (x− 4)2.
g)
(
x+
1
2
)(
x+
3
5
)
.
Teorema. (Teorema do resto) o resto da divisão de um polinômio P de uma variável x por outro
polinômio da forma (x+ a) é igual ao valor de P quando substituímos x por a.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 3
Problema 8: Use este teorema para calcular o resto da divisão de x3 − 4x2 + 5x− 1 por:
a) x− 1.
b) x+ 1.
c) x− 3.
d) x+ 4.
e) x− 1
2
.
Problema 9: Use o Teorema do Resto para verificar se x4 + 2x3 − 3x2 − 8x− 4 é divisível por:
a) x− 1.
b) x+ 1.
c) x+ 2.
d) x− 2.
e) x+ 3.
Problema 10: Simplifique as expressões:
a) a9 × a5.
b) (3y2) (4y5).
c)
(2x3)
2
(3x4)
(x3)4
.
d)
(
x
y
)3(
y2x
z
)4
.
e) (2a3b2) (3ab4)
3.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 4
2. Solução dos Problemas Propostos:
Solução. Problema 1:
a) o dobro de n.
2n.
b) 20% de n.
20
100
× n.
c) o sucessor de x.
x+ 1
d) a metade da soma entre x e 3.
x+ 3
2
.
e) o cubo de y.
y3.
Solução. Problema 2: A área de um retângulo é o produto de suas dimensões, comprimento e
altura.
a) 2x e x.
(2x)x = 2x2.
b) 2x e (x+ 1).
(2x) (x+ 1) = (2x)x+ (2x) 1 = 2x2 + 2x.
c) (x− 1) e (x+ 2).
(x− 1) (x+ 2) = x (x+ 2)− 1 (x+ 2) = x2 + 2x− x− 2 = x2 + x− 2
Solução. Problema 3: Sejam A = 8x3y2 e B = 4xy.
a) AB.
AB = (8x3y2) (4xy) = 8× 4× x3xy2y = 32x3+1y2+1 = 32x4y3.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 5
b)
A
B
.
A
B
=
8x3y2
4xy
=
8
4
× x3
x
× y2
y
= 2x3−1y2−1 = 2x2y.
Solução. Problema 4: Sejam os polinômios P = 3x2 + 4x− 8 e Q = x2 + 1.
a) P +Q.
P +Q = (3x2 + 4x− 8) + (x2 + 1) = 3x2 + x2 + 4x− 8 + 1 = 4x2 + 4x− 7
b) P −Q.
P −Q = (3x2 + 4x− 8)− (x2 + 1) = 3x2 − x2 + 4x− 8− 1 = 2x2 + 4x− 9
c) PQ.
PQ = (3x2 + 4x− 8) (x2 + 1) = 3x2 (x2 + 1) + 4x (x2 + 1) + (−8) (x2 + 1)
PQ = 3x4 + 3x2 + 4x3 + 4x− 8x2 − 8 = 3x4 + 4x3 − 5x2 + 4x− 8
É indicado escrever o polinômio segundo a ordem decrescente dos expoentes da variável.
Solução. Problema 5:
a) (a+ 1) (a2 − 6a+ 4) = a (a2 − 6a+ 4) + 1 (a2 − 6a+ 4) = a3 − 6a2 + 4a+ a2 − 6a+ 4 =
a3 − 5a2 − 2a+ 4
b) (3a− b) (3ab+ 2a− b) = 3a (3ab+ 2a− b)− b (3ab+ 2a− b) =
3a2b+ 6a2 − 3ab− 3ab2 − 2ab+ b2 = 3a2b− 3ab2 − 5ab+ 6a2 + b2
c)
a2
4
(
1, 2a2 + 1, 6a+
8
3
)
=
1, 2a2+2
4
+
1, 6a2+1
4
+
8a2
4× 3
= 0, 3a4 + 0, 4a3 +
2a2
3
Solução. Problema 6: Observe a tabela a seguir:
Km Total
1 3, 00 + 2, 50× 1 = 5, 50
2 3, 00 + 2, 50× 2 = 8, 00
3 3, 00 + 2, 50× 3 = 10, 50
· · · · · ·
x P (x) = 3, 00 + 2, 50x
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 6
Solução. Problema 7: Vamos calcular os produtos usando a relação:
(x+ a) (x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab
a) (x+ 1) (x+ 2) = x2 + (1 + 2)x+ 1× 2 = x2 + 3x+ 2
b) (x+ 3) (x+ 9) = x2 + (3 + 9)x+ 3× 9 = x2 + 12x+ 27
c) (x− 2) (x+ 3) = x2 + ((−2) + 3) x+ (−2)× 3 = x2 + x− 6
d) (x− 4) (x+ 4) = x2 + ((−4) + 4) x+ (−4)× 4 = x2 + 0x− 16 = x2 − 16
e) (x+ 5)2 = (x+ 5) (x+ 5) = x2 + (5 + 5) x+ 5× 5 = x2 + 10x+ 25
f) (x− 4)2 = (x− 4) (x− 4) = x2 + (−4 + (−4))x+ (−4)× (−4) = x2 − 8x+ 16
g)
(
x+
1
2
)(
x+
3
5
)
= x2 +
(
1
2
+
3
5
)
x+
1
2
× 3
5
= x2 +
5 + 6
10
x+
3
10
= x2 +
11
10
x+
3
10
Solução. Problema 8: O Teorema do Resto afirma que o resto da divisão de um polinômio P de
uma variável x denotado por P (x) por outro polinômio da forma (x+ a) é igual ao valor de P
quando substituímos x por a. Vamos chamar este valor de P (a).
P (x) = x3 − 4x2 + 5x− 1
a) x− 1 =⇒ a = −1 =⇒ P (−1) = (−1)3 − 4 (−1)2 + 5 (−1)− 1 = −1− 4− 5− 1 = −11.
b) x+ 1 =⇒ a = 1 =⇒ P (1) = 13 − 4× 12 + 5× 1− 1 = 1− 4 + 5− 1 = 1.
c) x−3 =⇒ a = −3 =⇒ P (−3) = (−3)3−4×(−3)2+5×(−3)−1 = −27−36−15−1 = −79
d) x+ 4 =⇒ a = 4 =⇒ P (4) = 43 − 4× 42 + 5× 4− 1 = 64− 64 + 20− 1 = 19
e) x− 1
2
=⇒ a = −1
2
=⇒ P
(
−1
2
)
=
(
−1
2
)3
− 4
(
−1
2
)2
+ 5
(
−1
2
)
− 1 =
−1
8
− 4
(
1
4
)
− 5
2
− 1 = −1
8
− 1− 5
2
− 1 = −1
8
− 2− 5
2
=
−1− 16− 20
8
= −37
8
Solução. Problema 9: Pelo Teorema do Resto um polinômio P (x) será divisível por (x+ a) se
P (a) = 0.
P (x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 8x− 4
a) x−1 =⇒ a = −1 =⇒ P (−1) = (−1)4+2 (−1)3−3 (−1)2−8 (−1)−4 = 1−2−3+8−4 = 0
O polinômio é divisível por x− 1.
b) x+ 1 =⇒ a = 1 =⇒ P (−1) = 14 + 2 (1)3 − 3 (1)2 − 8 (1)− 4 = 1 + 2− 3− 8− 4 = −12
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS 7
c) x+ 2 =⇒ a = 2 =⇒ P (2) = 24 + 2 (2)3 − 3 (2)2 − 8 (2)− 4 = 16 + 16− 12− 16− 4 = 0
O polinômio é divisível por x+ 2.
d) x−2 ⇒ a = −2 ⇒ P (−2) = (−2)4+2 (−2)3−3 (−2)2−8 (−2)−4 = 16−16−12+16−4 = 0
O polinômio é divisível por x− 2
e) x+ 3 =⇒ a = 3 =⇒ P (3) = 34 + 2 (3)3 − 3 (3)2 − 8 (3)− 4 = 81 + 54− 18− 24− 4 = 89
Solução. Problema 10:
a) a9 × a5 = a9+5 = a14
b) (3y2) (4y5) = 12y2+5 = 12y7
c)
(2x3)
2
(3x4)
(x3)4
=
(2x3×2) (3x4)
x3×4
=
6x6+4
x12
=
6x10
x12
= 6x10−12 = 6x−2
d)
(
x
y
)3(
y2x
z
)4
=
x3
y3
× y8x4
z4
=
x3+4y8−3
z4
=
x7y5
z4
e) (2a3b2) (3ab4)
3
= (2a3b2) (3a3b12) = 6a6b14