Prove que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices.

Para provar que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices, siga os passos abaixo: 1. Defina os vértices do triângulo: Considere um triângulo retângulo \( ABC \) onde \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \) e \( C(0, b) \). O vértice \( C \) é o ângulo reto. 2. Encontre o ponto médio da hipotenusa: A hipotenusa é o segmento \( AB \). O ponto médio \( M \) de \( AB \) é dado por: \[ M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \] 3. Calcule as distâncias: - Distância de \( M \) a \( A \): \[ d(M, A) = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2} \] - Distância de \( M \) a \( B \): \[ d(M, B) = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2} \] - Distância de \( M \) a \( C \): \[ d(M, C) = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2} \] 4. Verifique a equidistância: Para que \( M \) seja equidistante de \( A \), \( B \) e \( C \), precisamos mostrar que: \[ d(M, A) = d(M, B) = d(M, C) \] Como já vimos, \( d(M, A) = d(M, B) = \frac{a}{2} \). Agora, para \( d(M, C) \): \[ d(M, C) = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2} \] Para um triângulo retângulo, pela relação de Pitágoras, temos: \[ c^2 = a^2 + b^2 \quad \text{(onde \( c \) é a hipotenusa)} \] Assim, \( d(M, C) = \frac{c}{2} \). 5. Conclusão: Portanto, o ponto médio \( M \) da hipotenusa \( AB \) é equidistante dos vértices \( A \), \( B \) e \( C \). Assim, provamos que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices.