Para resolver a equação diferencial dada, vamos reescrever a equação: \[ y' - y = 2xy' - y = 2xe^{2x} \] Podemos reorganizar a equação para encontrar uma solução. A equação pode ser simplificada e resolvida usando o método do fator integrante ou separação de variáveis, mas, para fins de resposta direta, vamos focar nas alternativas. Após resolver a equação diferencial e aplicar a condição inicial \( y(0) = 1 \), encontramos a solução correta. Analisando as alternativas: A) \( y = e^{2x} \) - Não satisfaz a condição inicial. B) \( y = 3e^{x} \) - Não satisfaz a condição inicial. C) \( y = 2(x-1)e^{2x} \) - Não satisfaz a condição inicial. D) \( y = 3e^{x} + 3(x-1)e^{3x} \) - Não satisfaz a condição inicial. E) \( y = 3e^{x} + 2(x-1)e^{2x} \) - Esta opção satisfaz a condição inicial. Portanto, a solução correta é: E) y = 3e^{x} + 2(x-1)e^{2x}.