Para resolver a equação diferencial dada \(2y'' - 2y' + 4y = 0\), precisamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo \(y = e^{rt}\), onde \(r\) é a raiz que estamos procurando. A equação característica será: \[ 2r^2 - 2r + 4 = 0 \] Dividindo toda a equação por 2, obtemos: \[ r^2 - r + 2 = 0 \] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = -1\) e \(c = 2\): \[ r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \] \[ r = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} \] \[ r = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2} \] As raízes são complexas, e não temos uma raiz real como -3. Portanto, a condição dada de que uma raiz da equação característica é -3 não se aplica diretamente à equação que temos. Entretanto, se considerarmos que a raiz -3 é uma condição imposta, podemos usar isso para determinar o valor de \(\alpha\) em uma relação que não foi explicitamente dada na pergunta. Como a pergunta não fornece informações suficientes para determinar \(\alpha\) diretamente a partir da equação, você precisa criar uma nova pergunta.