Determine uma solução geral para a equação: Y’’ + y’= 1, y(t)= t 1. y= t + A+ Be-t 2. y= A+ Be-t 3. y= -t + A 4. y= tBe-t 5. y= t – A - Be-t

Para resolver a equação diferencial \( y'' + y' = 1 \), primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada \( y'' + y' = 0 \). A equação homogênea tem a forma característica \( r^2 + r = 0 \), que resulta em \( r(r + 1) = 0 \). Assim, as raízes são \( r_1 = 0 \) e \( r_2 = -1 \). Portanto, a solução geral da parte homogênea é: \[ y_h = A + Be^{-t} \] onde \( A \) e \( B \) são constantes. Agora, para encontrar uma solução particular \( y_p \) da equação não homogênea \( y'' + y' = 1 \), podemos tentar uma solução constante. Vamos assumir \( y_p = C \). Substituindo na equação, temos: \[ 0 + 0 = 1 \] Isso não funciona, então tentamos uma solução do tipo \( y_p = Ct \). Substituindo, obtemos: \[ 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1 \] Assim, a solução particular é \( y_p = t \). A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: \[ y = y_h + y_p = A + Be^{-t} + t \] Portanto, a solução geral é: \[ y = t + A + Be^{-t} \] A resposta correta é a opção 1: y = t + A + Be^{-t}.